Tìm tất cả giá trị a. Câu 16: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{ax^2-(a-2)x-2}{\sqrt{x+3}-2}&khi~x
e1\8+a^2&khi~x=1\end{array} ight..$ Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm số,liên tục tại $x=1?$

Question

Tìm tất cả giá trị a. Câu 16: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{ax^2-(a-2)x-2}{\sqrt{x+3}-2}&khi~x
e1\8+a^2&khi~x=1\end{array}ight..$ Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm số,liên tục tại $x=1?$

Accepted Answer

Câu 16:
Để hàm số liên tục tại $ x = 1 $, ta cần có:
$$ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1). $$

Trước tiên, ta tính giới hạn của $ f(x) $ khi $ x $ tiến đến 1:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{ax^2 - (a-2)x - 2}{\sqrt{x+3} - 2}. $$

Nhận thấy rằng mẫu số có dạng $ \sqrt{x+3} - 2 $, ta nhân tử số và mẫu số với $ \sqrt{x+3} + 2 $:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{(ax^2 - (a-2)x - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}. $$

Mẫu số trở thành:
$$ (\sqrt{x+3})^2 - 2^2 = x + 3 - 4 = x - 1. $$

Do đó, ta có:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{(ax^2 - (a-2)x - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{x - 1}. $$

Tiếp theo, ta cần phân tích tử số $ ax^2 - (a-2)x - 2 $ để có thể rút gọn với $ x - 1 $.

Ta thử phân tích đa thức $ ax^2 - (a-2)x - 2 $:
$$ ax^2 - (a-2)x - 2 = a(x^2 - x) + 2x - 2 = a(x^2 - x) + 2(x - 1). $$

Tuy nhiên, cách này không trực tiếp giúp ta rút gọn. Thay vào đó, ta sẽ thay $ x = 1 $ vào tử số để kiểm tra:
$$ a(1)^2 - (a-2)(1) - 2 = a - (a-2) - 2 = a - a + 2 - 2 = 0. $$

Như vậy, tử số chia hết cho $ x - 1 $. Ta thực hiện phép chia đa thức:
$$ ax^2 - (a-2)x - 2 = (x - 1)(ax + 2). $$

Do đó, ta có:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(ax + 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (ax + 2)(\sqrt{x+3} + 2). $$

Thay $ x = 1 $ vào:
$$ (a \cdot 1 + 2)(\sqrt{1+3} + 2) = (a + 2)(2 + 2) = (a + 2) \cdot 4 = 4(a + 2). $$

Để hàm số liên tục tại $ x = 1 $, ta cần:
$$ 4(a + 2) = 8 + a^2. $$

Giải phương trình:
$$ 4a + 8 = 8 + a^2 $$
$$ a^2 - 4a = 0 $$
$$ a(a - 4) = 0. $$

Vậy $ a = 0 $ hoặc $ a = 4 $.

Kết luận: Có tất cả 2 giá trị của $ a $ để hàm số liên tục tại $ x = 1 $.