Cho △ABC vuông tại A, (AC = 3AB). Lấy các điểm D, E trên đoạn thẳng AC sao cho AD = DE = EC. Trên đường thẳng qua D vuông góc với AC lấy điểm F sao cho DF = AB (F, B nằm khác phía so với đường thẳng AC...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh: △ABF = △ECF 1. Xét hai tam giác △ABF và △ECF: - Ta có $$ và $$. - Xét tam giác vuông tại A, ta có $$, do đó $$. - Vì $$ và $$, suy ra $$. 2. Góc: - Vì $$ nằm trên đường thẳng qua $$ vuông góc với $$, nên $$. - Do đó, $$. 3. Kết luận: - Ta có $$, $$, và $$. - Do đó, △ABF = △ECF (cạnh huyền - góc nhọn). b) Chứng minh: △BFC vuông cân và I là trung điểm của BF 1. Chứng minh △BFC vuông cân: - Từ phần a, ta có $$. - Do đó, $$. - Vì $$ và $$, suy ra $$. - Vậy △BFC là tam giác vuông cân tại $$. 2. Chứng minh I là trung điểm của BF: - Ta có $$ cắt $$ tại $$. - Vì $$ là đường trung trực của $$ (do △BFC vuông cân tại $$), nên $$ là trung điểm của $$. c) Chứng minh: IK = IG và BG vuông góc với IK 1. Chứng minh IK = IG: - Ta có $$ là trung điểm của $$, do đó $$. - Đường thẳng $$ cắt $$ tại $$, và $$ cắt $$ tại $$. - Vì $$ là trung điểm của $$ và $$ nằm trên $$, nên $$. - Do đó, $$ vì $$ là trung điểm của $$ và $$ là trung điểm của $$. 2. Chứng minh BG vuông góc với IK: - Vì $$ là tam giác vuông cân tại $$, nên $$ vuông góc với $$. - Do đó, $$ vuông góc với $$ vì $$ là đường trung bình của tam giác vuông cân $$. Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.