Tính giá trị M.n. Câu 30. Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh,bằng 4. Gọi S là tập hợp tất cả các điểm X sao cho,$|\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XC}|=|\overrightarrow{XB}-\overrightarrow{XC}|.$,,Đối với mỗi điểm P thuộc S, điểm Q xác định bởi,$\overrightarrow{4PQ}=\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PD}.$ Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và,nhỏ nhất của $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AQ}.$ Tìm giá trị của M • m.

Question

Tính giá trị M.n. Câu 30. Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh,bằng 4. Gọi S là tập hợp tất cả các điểm X sao cho,$|\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XC}|=|\overrightarrow{XB}-\overrightarrow{XC}|.$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/05c74b05589c458fa1bab1cc3ca8afd6.jpg />,Đối với mỗi điểm P thuộc S, điểm Q xác định bởi,$\overrightarrow{4PQ}=\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PD}.$ Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và,nhỏ nhất của $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AQ}.$ Tìm giá trị của M • m.

Accepted Answer

Câu 30:
Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định tập hợp S

Điều kiện $|\overrightarrow{XB}+\overrightarrow{XC}|=|\overrightarrow{XB}-\overrightarrow{XC}|$ có nghĩa là điểm X nằm trên đường trung trực của đoạn BC. Do đó, tập hợp S là đường trung trực của đoạn BC.

Bước 2: Xác định điểm Q

Với mỗi điểm P thuộc S, điểm Q được xác định bởi:

$$
\overrightarrow{4PQ} = \overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PD}
$$

Từ đó, ta có:

$$
\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PD})
$$

Suy ra:

$$
\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{PB} + 2(\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AD})) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PA} + 8\overrightarrow{AD})
$$

Bước 3: Tính $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AQ}$

Ta có $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 4\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j}$.

Giả sử $P(x, y)$, ta có:

$$
\overrightarrow{PB} = (x, y) - (0, 0) = (x, y)
$$
$$
\overrightarrow{PD} = (x, y) - (4, 4) = (x-4, y-4)
$$

Thay vào công thức $\overrightarrow{PQ}$:

$$
\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{4}((x, y) + 2(x-4, y-4))
$$
$$
= \frac{1}{4}(3x - 8, 3y - 8)
$$

Do đó:

$$
\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PQ} = (x, y) + \frac{1}{4}(3x - 8, 3y - 8)
$$

Tính tích vô hướng:

$$
\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AQ} = (4, 4) \cdot \left(x + \frac{3x - 8}{4}, y + \frac{3y - 8}{4}\right)
$$

$$
= 4\left(x + \frac{3x - 8}{4}\right) + 4\left(y + \frac{3y - 8}{4}\right)
$$

$$
= 4\left(\frac{7x - 8}{4}\right) + 4\left(\frac{7y - 8}{4}\right)
$$

$$
= 7x + 7y - 16
$$

Bước 4: Tìm GTLN và GTNN của $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AQ}$

Vì P nằm trên đường trung trực của BC, nên $x = 2$. Do đó:

$$
7x + 7y - 16 = 14 + 7y - 16 = 7y - 2
$$

Với $y$ thay đổi từ 0 đến 4 (vì P nằm trên đường trung trực của BC), ta có:

- GTNN khi $y = 0$: $7 \cdot 0 - 2 = -2$
- GTLN khi $y = 4$: $7 \cdot 4 - 2 = 26$

Bước 5: Tính M • m

Vậy $M = 26$ và $m = -2$. Do đó, $M \cdot m = 26 \cdot (-2) = -52$.

Kết luận: Giá trị của $M \cdot m$ là $-52$.