Tìm max P. Câu 6. (3,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn $x\geq0,~y\leq0.$ Tìm giá trị lớn nhất của,biểu thức $P=\frac1{x^2+2x+2}+\frac1{y^2-2y+2}+3\sqrt{x^2+y^2-2xy+4x-4y+8}.$

Question

Accepted Answer

Câu 6:
Ta có:
$P=\frac1{(x+1)^2+1}+\frac1{(y-1)^2+1}+3\sqrt{(x-y+2)^2+4}$
Do $x\geq0,~y\leq0$ nên $x-y+2\geq2>0.$
Xét hàm số $f(t)=\frac1{t^2+1},~t\geq0.$ Ta có $f'(t)=\frac{-2t}{(t^2+1)^2}\leq0,~\forall t\geq0.$
Suy ra $f(t)$ nghịch biến trên $[0;+\infty).$
Mặt khác $(x+1)^2+(1-y)^2\geq(1-y)^2+1-y+2=(2-y)^2+1\geq9,$ do đó $x+1\leq1-y$ hoặc $1-y\leqx+1.$
Nếu $x+1\leq1-y$ thì $f(x+1)\geq f(1-y).$
Nếu $1-y\leqx+1$ thì $f(1-y)\geq f(x+1).$
Từ đó suy ra $\frac1{(x+1)^2+1}+\frac1{(1-y)^2+1}\leq2f(\frac{x+1+1-y}{2})=2f(\frac{x-y+2}{2}).$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x-y+2=2$ hoặc $x=y.$
Vậy $P\leq2f(\frac{x-y+2}{2})+3\sqrt{(x-y+2)^2+4}=2.\frac1{(\frac{x-y+2}{2})^2+1}+3\sqrt{(x-y+2)^2+4}.$
Xét hàm số $g(t)=2.\frac1{t^2+1}+3\sqrt{t^2+4},~t\geq2.$ Ta có $g'(t)=\frac{-4t}{(t^2+1)^2}+\frac{3t}{\sqrt{t^2+4}}\leq0,~\forall t\geq2.$
Suy ra $g(t)$ nghịch biến trên $[2;+\infty).$
Do đó $g(t)\leq g(2)=\frac{13}{5}.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $t=2$ hoặc $x-y+2=2.$
Vậy giá trị lớn nhất của P là $\frac{13}{5},$ đạt được khi và chỉ khi $x=0,~y=0.$