Câu 5 nhé.

Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $$. Bước 1: Xác định dạng của biểu thức. Biểu thức $$ là một đa thức bậc hai. Bước 2: Tìm đỉnh của parabol. Biểu thức $$ có dạng tổng quát $$ với $$, $$, và $$. Đỉnh của parabol này sẽ cho chúng ta GTNN hoặc GTLN của biểu thức. Bước 3: Tính tọa độ đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh $$ của parabol $$ được tính bằng công thức: $$ Thay $$ và $$: $$ Bước 4: Thay giá trị $$ vào biểu thức để tìm giá trị của $$. $$ Bước 5: Kết luận. Do $$, đồ thị của biểu thức $$ mở lên, do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được tại đỉnh $$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ là 1, đạt được khi $$. Không tồn tại giá trị lớn nhất vì biểu thức $$ không bị chặn trên. Đáp số: - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ là 1, đạt được khi $$. - Không tồn tại giá trị lớn nhất. Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần phân tích và chứng minh từng bước một cách rõ ràng. Bước 1: Phân tích đoạn thẳng AB và các điểm được đánh dấu Đoạn thẳng AB được chia thành bốn phần bằng nhau bởi ba điểm M, N, P. Mỗi đoạn AM, MN, NP, PB có 506 điểm được đánh dấu. Tổng cộng có 2024 điểm trên đoạn AB. Bước 2: Tính chất đối xứng của các điểm Theo đề bài, với mỗi điểm thuộc đoạn AM, tồn tại một điểm đối xứng qua M thuộc đoạn MN. Tương tự, với mỗi điểm thuộc đoạn PB, tồn tại một điểm đối xứng qua P thuộc đoạn NP. Điều này có nghĩa là nếu ta gọi điểm thuộc AM là $$ (với $$ là khoảng cách từ A đến điểm đó), thì điểm đối xứng qua M sẽ có tọa độ $$, trong đó $$ là tọa độ của M. Tương tự, nếu điểm thuộc PB có tọa độ $$ (với $$ là khoảng cách từ B đến điểm đó), thì điểm đối xứng qua P sẽ có tọa độ $$, trong đó $$ là tọa độ của P. Bước 3: Tô màu các điểm Ta tô màu đỏ cho 1012 điểm và màu đen cho 1012 điểm còn lại. Theo tính chất đối xứng, nếu một điểm màu đỏ nằm ở đoạn AM, thì điểm đối xứng của nó qua M sẽ nằm ở đoạn MN và có thể là màu đen. Tương tự cho các đoạn NP và PB. Bước 4: Chứng minh tổng các khoảng cách từ A đến các điểm màu đỏ bằng tổng các khoảng cách từ B đến các điểm màu đen Giả sử ta có một điểm màu đỏ tại vị trí $$ trên đoạn AM. Điểm đối xứng của nó qua M sẽ có vị trí $$ trên đoạn MN. Nếu điểm này màu đen, thì khoảng cách từ B đến điểm này là $$. Tương tự, nếu ta có một điểm màu đỏ tại vị trí $$ trên đoạn PB, điểm đối xứng của nó qua P sẽ có vị trí $$ trên đoạn NP. Nếu điểm này màu đen, thì khoảng cách từ A đến điểm này là $$. Do tính chất đối xứng và cách tô màu, tổng các khoảng cách từ A đến các điểm màu đỏ sẽ bằng tổng các khoảng cách từ B đến các điểm màu đen. Điều này là do mỗi cặp điểm đối xứng (một đỏ, một đen) sẽ có tổng khoảng cách từ A và B bằng nhau. Kết luận Tổng các khoảng cách từ A đến các điểm màu đỏ bằng tổng các khoảng cách từ B đến các điểm màu đen, nhờ vào tính chất đối xứng và cách tô màu các điểm trên đoạn thẳng AB.