Câu 16:
Gọi x là số học sinh giỏi cả Toán và Văn.
Ta có:
- Số học sinh giỏi Toán là 20.
- Số học sinh giỏi Văn là 25.
- Tổng số học sinh giỏi là 30.
Theo nguyên lý bao hàm và loại trừ, ta có:
Số học sinh giỏi ít nhất một môn = Số học sinh giỏi Toán + Số học sinh giỏi Văn - Số học sinh giỏi cả hai môn.
Do đó:
30 = 20 + 25 - x
Giải phương trình này:
30 = 45 - x
x = 45 - 30
x = 15
Vậy số học sinh giỏi cả Toán và Văn là 15.
Đáp án đúng là: C. 15
Câu 17:
Để tìm số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A, chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý bao gồm - loại trừ (Inclusion-Exclusion Principle).
Bước 1: Tính tổng số học sinh giỏi mỗi môn:
- Học sinh giỏi Toán: 7
- Học sinh giỏi Lý: 5
- Học sinh giỏi Hóa: 6
Bước 2: Tính tổng số học sinh giỏi hai môn:
- Học sinh giỏi cả Toán và Lý: 3
- Học sinh giỏi cả Toán và Hóa: 4
- Học sinh giỏi cả Lý và Hóa: 2
Bước 3: Tính số học sinh giỏi cả ba môn:
- Học sinh giỏi cả Toán, Lý và Hóa: 1
Bước 4: Áp dụng nguyên lý bao gồm - loại trừ:
Số học sinh giỏi ít nhất một môn = (Tổng số học sinh giỏi mỗi môn) - (Tổng số học sinh giỏi hai môn) + (Số học sinh giỏi cả ba môn)
Ta có:
Số học sinh giỏi ít nhất một môn = (7 + 5 + 6) - (3 + 4 + 2) + 1
= 18 - 9 + 1
= 10
Vậy số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10A là: C. 10.
Câu 1:
a) Đúng vì $A=\{x\in\mathbb{R}|-3\leq x\leq2\}=[-3;2]$.
b) Sai vì $3\notin A$ nên $B\notsubset A$.
c) Đúng vì $A\cap B=\{-3;3\}=B$.
d) Đúng vì $B=\{x\in\mathbb{Z}|x^2-9=0\}=\{-3;3\}$.
Câu 2:
a) Tập hợp T có 6 phần tử, tập hợp H có 4 phần tử. Vậy số phần tử của tập hợp T không bằng số phần tử của tập hợp H. Mệnh đề này sai.
b) Tập hợp con của H là C_7H = {1; 5; 7}. Mệnh đề này sai vì 1 và 5 không thuộc H.
c) Số tập hợp con của tập H là 2^4 = 16. Mệnh đề này đúng.
d) Số tập con có 2 phần tử của tập H là C(4, 2) = $\frac{4!}{2!(4-2)!}$ = 6. Mệnh đề này sai.
Câu 3:
a) Tập $A=\{-2;-1;0;1;2;3\}.$
Ta thấy $-2\leq -2\leq 3$, $-2\leq -1\leq 3$, $-2\leq 0\leq 3$, $-2\leq 1\leq 3$, $-2\leq 2\leq 3$, $-2\leq 3\leq 3$. Vậy $A=\{-2;-1;0;1;2;3\}.$
Do đó khẳng định này đúng.
b) Tập $B=\{-2;-1;0;1\}.$
Giải phương trình $x^2 + x - 2 = 0$:
Phương trình $x^2 + x - 2 = 0$ có thể được giải bằng phương pháp phân tích thành nhân tử:
\[x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) = 0.\]
Từ đây ta có hai nghiệm:
\[x + 2 = 0 \implies x = -2,\]
\[x - 1 = 0 \implies x = 1.\]
Vậy tập $B = \{-2, 1\}.$
Do đó khẳng định này sai.
c) $B \subset A.$
Ta đã biết $B = \{-2, 1\}.$ Ta kiểm tra các phần tử của $B$ có thuộc $A$ hay không:
- $-2 \in A$
- $1 \in A$
Vì cả hai phần tử của $B$ đều thuộc $A$, nên $B \subset A.$
Do đó khẳng định này đúng.
d) $A \setminus B = C.$
Ta có $A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ và $B = \{-2, 1\}.$
Ta loại bỏ các phần tử của $B$ khỏi $A$:
\[A \setminus B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} \setminus \{-2, 1\} = \{-1, 0, 2, 3\}.\]
Vậy $A \setminus B = \{-1, 0, 2, 3\}.$
Do đó khẳng định này đúng.
Tóm lại:
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng
Câu 4:
a) Tập A có 6 phần tử. Đúng vì A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} có 6 phần tử.
b) Tập B ∪ A có 9 phần tử. Sai vì B ∪ A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, có 6 phần tử.
c) Số tập con của tập B (tính cả tập ∅) là 8. Đúng vì số tập con của tập B là 2^3 = 8.
d) Có 64 tập hợp X ⊂ E sao cho A ∩ X = B. Đúng vì A ∩ X = B suy ra X phải chứa tất cả các phần tử của B và không chứa các phần tử khác của A. Các phần tử còn lại của E là {4, 5, 7, 8}. Mỗi phần tử này có thể thuộc hoặc không thuộc X, do đó có 2^4 = 16 cách chọn. Tuy nhiên, chúng ta cần thêm các phần tử của B vào X, nên tổng số tập hợp X thỏa mãn là 16 × 4 = 64.