giải giúp mình với

Câu 30: A. sai vì \( a \) chia hết cho 3 và 5 thì \( a \) chia hết cho 15. B. sai vì \( a \) chia hết cho 3 thì \( a \) không chia hết cho 6. C. đúng vì \( a \) chia hết cho 4 thì \( a \) chia hết cho 2. D. sai vì \( a \) chia hết cho 3 và 6 thì \( a \) chia hết cho 6. Câu 31: Để xác định mệnh đề Q sao cho $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng, ta cần phân tích từng mệnh đề Q được cho: 1. Mệnh đề A: Q: "Tam giác ABC có một góc $60^{0^{\prime\prime}}.$ - Nếu tam giác ABC đều, thì mỗi góc của tam giác đều bằng $60^\circ$. Do đó, mệnh đề P đúng thì mệnh đề Q cũng đúng. - Ngược lại, nếu tam giác ABC có một góc $60^\circ$, điều này không đảm bảo tam giác ABC là tam giác đều, vì tam giác có thể là tam giác cân hoặc tam giác thường với một góc $60^\circ$. Do đó, mệnh đề Q đúng không đảm bảo mệnh đề P đúng. - Kết luận: $P \Leftrightarrow Q$ không đúng. 2. Mệnh đề B: Q: "Tam giác ABC có 3 đường cao bằng nhau". - Nếu tam giác ABC đều, thì ba đường cao của tam giác đều bằng nhau. Do đó, mệnh đề P đúng thì mệnh đề Q cũng đúng. - Ngược lại, nếu tam giác ABC có 3 đường cao bằng nhau, điều này chỉ xảy ra khi tam giác đó là tam giác đều. Do đó, mệnh đề Q đúng thì mệnh đề P cũng đúng. - Kết luận: $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng. 3. Mệnh đề C: Q: "Tam giác ABC là tam giác vuông". - Nếu tam giác ABC đều, thì không thể là tam giác vuông, vì góc của tam giác đều là $60^\circ$, không có góc nào là $90^\circ$. Do đó, mệnh đề P đúng thì mệnh đề Q sai. - Ngược lại, nếu tam giác ABC là tam giác vuông, thì không thể là tam giác đều. Do đó, mệnh đề Q đúng thì mệnh đề P sai. - Kết luận: $P \Leftrightarrow Q$ không đúng. 4. Mệnh đề D: Q: "Tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau". - Nếu tam giác ABC đều, thì tất cả các cạnh đều bằng nhau, do đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau. Do đó, mệnh đề P đúng thì mệnh đề Q đúng. - Ngược lại, nếu tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau, điều này chỉ đảm bảo tam giác là tam giác cân, không nhất thiết là tam giác đều. Do đó, mệnh đề Q đúng không đảm bảo mệnh đề P đúng. - Kết luận: $P \Leftrightarrow Q$ không đúng. Từ các phân tích trên, mệnh đề B là mệnh đề Q đúng để $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng. Vậy, đáp án đúng là B. Câu 32: Để xác định mệnh đề nào là mệnh đề sai, ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết: A. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi ABCD có ba góc vuông. - Một tứ giác có ba góc vuông thì góc còn lại cũng phải là góc vuông (vì tổng các góc trong tứ giác là \(360^\circ\)). Do đó, tứ giác có ba góc vuông thì sẽ có bốn góc vuông, và đó là điều kiện để tứ giác là hình chữ nhật. Mệnh đề này đúng. B. Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi ABCD có hai cạnh đối song song và bằng nhau. - Một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi hai cặp cạnh đối song song. Tuy nhiên, mệnh đề này chỉ yêu cầu một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, điều này không đủ để kết luận tứ giác là hình bình hành. Mệnh đề này sai. C. Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. - Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Điều này là đúng vì đó là một trong những tính chất đặc trưng của hình thoi. Mệnh đề này đúng. D. Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi ABCD có bốn góc vuông. - Một tứ giác có bốn góc vuông là hình chữ nhật, nhưng để là hình vuông, nó cần thêm điều kiện là bốn cạnh bằng nhau. Do đó, chỉ có bốn góc vuông không đủ để kết luận tứ giác là hình vuông. Mệnh đề này sai. Kết luận: Mệnh đề sai là B và D. Câu 33: Để xác định mệnh đề nào là mệnh đề sai, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết: A. Mệnh đề A: "Số tự nhiên \( n \) là số lẻ khi và chỉ khi \( n^2 \) là số lẻ." - Phân tích: Nếu \( n \) là số lẻ, thì \( n = 2k + 1 \) với \( k \) là số nguyên. Khi đó, \( n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 \), là số lẻ. Ngược lại, nếu \( n^2 \) là số lẻ, thì \( n \) cũng phải là số lẻ (vì nếu \( n \) là số chẵn thì \( n^2 \) sẽ là số chẵn). Do đó, mệnh đề A là đúng. B. Mệnh đề B: "Tứ giác \( ABCD \) là hình chữ nhật khi và chỉ khi tứ giác \( ABCD \) có \( AC = BD \)." - Phân tích: Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có bốn góc vuông. Điều kiện \( AC = BD \) chỉ đảm bảo rằng tứ giác là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau, tức là hình thoi hoặc hình chữ nhật. Tuy nhiên, hình thoi không phải lúc nào cũng là hình chữ nhật. Do đó, mệnh đề B là sai. C. Mệnh đề C: "Số tự nhiên \( n \) chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của \( n \) chia hết cho 9." - Phân tích: Đây là một tính chất quen thuộc của số chia hết cho 9. Nếu tổng các chữ số của \( n \) chia hết cho 9, thì \( n \) cũng chia hết cho 9 và ngược lại. Do đó, mệnh đề C là đúng. D. Mệnh đề D: "Tam giác \( ABC \) là tam giác đều khi và chỉ khi \( \triangle ABC \) có hai cạnh bằng nhau và một góc \( 60^\circ \)." - Phân tích: Nếu tam giác \( ABC \) là tam giác đều, thì rõ ràng nó có ba cạnh bằng nhau và mỗi góc đều là \( 60^\circ \). Tuy nhiên, nếu chỉ có hai cạnh bằng nhau và một góc \( 60^\circ \), thì tam giác đó có thể là tam giác cân với góc \( 60^\circ \), nhưng không nhất thiết phải là tam giác đều. Do đó, mệnh đề D là sai. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề B và D. Câu 34: Để xác định mệnh đề nào sai, chúng ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết: A. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. - Trong một tam giác, tổng ba góc luôn bằng \(180^\circ\). Nếu một tam giác có một góc bằng tổng hai góc còn lại, thì góc đó phải bằng \(90^\circ\) (vì \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\)). Điều này đúng với định nghĩa của tam giác vuông. Do đó, mệnh đề A là đúng. B. Một tam giác đều khi và chỉ khi nó có 2 đường trung tuyến bằng nhau và 1 góc bằng \(60^\circ\). - Trong một tam giác đều, tất cả các góc đều bằng \(60^\circ\) và tất cả các đường trung tuyến đều bằng nhau. Nếu một tam giác có 2 đường trung tuyến bằng nhau và 1 góc bằng \(60^\circ\), thì tam giác đó phải là tam giác đều. Do đó, mệnh đề B là đúng. C. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. - Hai tam giác có diện tích bằng nhau không nhất thiết phải bằng nhau (đồng dạng và có cùng kích thước). Hai tam giác bằng nhau phải có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Do đó, mệnh đề C là sai. D. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có 3 góc vuông. - Nếu một tứ giác có 3 góc vuông, thì góc thứ tư cũng phải là góc vuông (vì tổng các góc trong tứ giác là \(360^\circ\)). Do đó, tứ giác đó là hình chữ nhật. Mệnh đề D là đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề C. Câu 35: Để xác định số cặp mệnh đề tương đương trong các mệnh đề đã cho, ta cần phân tích từng mệnh đề và xem xét điều kiện để các mệnh đề đó có thể tương đương với nhau. 1. Mệnh đề P: "Hình thang ABCD cân có một góc vuông". - Hình thang cân có một góc vuông thì hai cạnh bên phải bằng nhau và hai cạnh đáy song song. Khi đó, hình thang này trở thành một hình chữ nhật. 2. Mệnh đề Q: "Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau". - Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau thì đó là hình chữ nhật. 3. Mệnh đề R: "Hình thoi ABCD có hai cạnh kề bằng nhau". - Hình thoi có tất cả các cạnh bằng nhau, do đó mệnh đề này luôn đúng với mọi hình thoi. 4. Mệnh đề S: "Tứ giác BCD có ba góc vuông". - Tứ giác có ba góc vuông thì góc còn lại cũng phải là góc vuông, do đó tứ giác này là hình chữ nhật. Bây giờ, ta sẽ so sánh các mệnh đề: - P và Q: Cả hai mệnh đề đều dẫn đến hình chữ nhật, do đó P và Q là tương đương. - P và R: P dẫn đến hình chữ nhật, trong khi R chỉ là điều kiện của hình thoi, không tương đương. - P và S: P dẫn đến hình chữ nhật, S cũng dẫn đến hình chữ nhật, do đó P và S là tương đương. - Q và R: Q dẫn đến hình chữ nhật, R chỉ là điều kiện của hình thoi, không tương đương. - Q và S: Cả hai mệnh đề đều dẫn đến hình chữ nhật, do đó Q và S là tương đương. - R và S: R chỉ là điều kiện của hình thoi, S dẫn đến hình chữ nhật, không tương đương. Tóm lại, có 3 cặp mệnh đề tương đương: (P, Q), (P, S), và (Q, S). Vậy, đáp án đúng là: D. 3. Câu 36: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của các ký hiệu và mệnh đề trong toán học. Mệnh đề "Có ít nhất một số tự nhiên khác 0" có nghĩa là tồn tại ít nhất một số tự nhiên \( x \) sao cho \( x \neq 0 \). Chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. \( \forall x \in \mathbb{N}, x \neq 0 \) - Mệnh đề này nói rằng "Mọi số tự nhiên đều khác 0", tức là tất cả các số tự nhiên đều khác 0. Điều này không đúng vì số 0 cũng thuộc tập hợp số tự nhiên \( \mathbb{N} \). B. \( \exists x \in \mathbb{N}, x = 0 \) - Mệnh đề này nói rằng "Tồn tại một số tự nhiên bằng 0". Điều này đúng, nhưng nó không mô tả đúng yêu cầu của đề bài là "có ít nhất một số tự nhiên khác 0". C. \( \exists x \in \mathbb{Z}, x \neq 0 \) - Mệnh đề này nói rằng "Tồn tại một số nguyên khác 0". Tập hợp số nguyên \( \mathbb{Z} \) bao gồm cả số âm, số dương và số 0, nhưng đề bài yêu cầu về số tự nhiên, không phải số nguyên. D. \( \exists x \in \mathbb{N}, x \neq 0 \) - Mệnh đề này nói rằng "Tồn tại một số tự nhiên khác 0". Đây chính là mô tả đúng yêu cầu của đề bài. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\exists x\in\mathbb{N},x\ne0. \] Câu 37: Phương trình \( x^2 + 1 = 0 \) vô nghiệm trên tập số thực \(\mathbb{R}\). Điều này có nghĩa là không tồn tại bất kỳ số thực nào \( x \) sao cho \( x^2 + 1 = 0 \). Do đó, chúng ta có thể viết lại mệnh đề này dưới dạng: \[ \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \neq 0 \] Đáp án đúng là: \[ A.~^{\prime\prime} \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \neq 0 ~^{\prime\prime} \] Câu 38: Mệnh đề "Có ít nhất một số thực sao cho \( x^3 + 27 = 0 \)" mô tả rằng tồn tại ít nhất một giá trị của \( x \) thuộc tập số thực \( \mathbb{R} \) thỏa mãn phương trình \( x^3 + 27 = 0 \). Do đó, chúng ta cần chọn đáp án mô tả đúng mệnh đề này. Phương trình \( x^3 + 27 = 0 \) có thể được viết lại thành: \[ x^3 = -27 \] Giải phương trình này, ta có: \[ x = -3 \] Như vậy, tồn tại ít nhất một số thực \( x = -3 \) thỏa mãn phương trình \( x^3 + 27 = 0 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\exists x\in\mathbb{R},x^3+27=0. \] Câu 39: Để kiểm tra từng mệnh đề, chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp cụ thể: A. \( \exists n \in \mathbb{N}, n^2 - 3 = 0 \) Phương trình \( n^2 - 3 = 0 \) tương đương với \( n^2 = 3 \). Điều này có nghĩa là \( n = \sqrt{3} \). Tuy nhiên, \( \sqrt{3} \) không phải là một số tự nhiên. Do đó, mệnh đề A sai. B. \( \forall n \in \mathbb{N}, n^2 > 0 \) Số tự nhiên \( n \) luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Nếu \( n = 0 \), thì \( n^2 = 0 \), không thỏa mãn điều kiện \( n^2 > 0 \). Do đó, mệnh đề B sai. C. \( \exists n \in \mathbb{N}, n^2 = n \) Phương trình \( n^2 = n \) có thể viết lại thành \( n(n - 1) = 0 \). Giải phương trình này, ta có hai nghiệm: \[ n = 0 \quad \text{hoặc} \quad n = 1 \] Trong tập hợp số tự nhiên \( \mathbb{N} \), cả hai giá trị này đều thuộc tập hợp số tự nhiên. Do đó, tồn tại ít nhất một số tự nhiên \( n \) sao cho \( n^2 = n \). Mệnh đề C đúng. D. \( \forall n \in \mathbb{N}, n^3 \) là số lẻ Xét các số tự nhiên: - Nếu \( n \) là số chẵn, thì \( n^3 \) cũng là số chẵn. - Nếu \( n \) là số lẻ, thì \( n^3 \) cũng là số lẻ. Do đó, không phải tất cả các số tự nhiên \( n \) đều có \( n^3 \) là số lẻ. Mệnh đề D sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là C. Đáp án: \( \boxed{C} \) Câu 40: Để kiểm tra các mệnh đề A, B, C, D, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng mệnh đề một. Mệnh đề A: $\forall x \in \mathbb{R}, \sqrt{x^2} = x$ - Ta biết rằng $\sqrt{x^2}$ luôn là giá trị không âm, tức là $\sqrt{x^2} = |x|$. - Nếu $x \geq 0$, thì $\sqrt{x^2} = x$. - Nếu $x < 0$, thì $\sqrt{x^2} = -x$. - Do đó, $\sqrt{x^2} = x$ chỉ đúng khi $x \geq 0$. Mệnh đề này không đúng với tất cả các giá trị thực của $x$. Mệnh đề B: $\forall x \in \mathbb{Z}, x \geq 3x$ - Xét $x = 1$: $1 \geq 3 \cdot 1$ suy ra $1 \geq 3$, điều này sai. - Vậy mệnh đề B không đúng. Mệnh đề C: $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$ - Bình phương của bất kỳ số thực nào cũng không thể âm, tức là $x^2 \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. - Do đó, không tồn tại $x \in \mathbb{R}$ sao cho $x^2 < 0$. Mệnh đề này sai. Mệnh đề D: $\exists x \in \mathbb{R}, x > x^2$ - Xét $x = \frac{1}{2}$: - $x = \frac{1}{2}$ - $x^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ - Ta thấy $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$, điều này đúng. - Vậy tồn tại $x \in \mathbb{R}$ sao cho $x > x^2$. Mệnh đề này đúng. Kết luận: Mệnh đề đúng là D. Câu 41: Để kiểm tra các mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng mệnh đề: A. Mệnh đề: $\forall n \in \mathbb{N}, n^2 + 3n = 4$ Kiểm tra với vài giá trị của $n$: - Khi $n = 1$: $1^2 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4$ (đúng) - Khi $n = 2$: $2^2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10$ (sai) Vì vậy, mệnh đề A sai vì nó không đúng với mọi $n \in \mathbb{N}$. B. Mệnh đề: $\forall n \in \mathbb{N}, n^2 > 0$ Kiểm tra với vài giá trị của $n$: - Khi $n = 1$: $1^2 = 1 > 0$ (đúng) - Khi $n = 2$: $2^2 = 4 > 0$ (đúng) Vì $n \in \mathbb{N}$ luôn lớn hơn 0, nên $n^2$ cũng luôn lớn hơn 0. Do đó, mệnh đề B đúng. C. Mệnh đề: $\forall n \in \mathbb{N}, n^2 - 4 = 0$ Kiểm tra với vài giá trị của $n$: - Khi $n = 1$: $1^2 - 4 = 1 - 4 = -3$ (sai) - Khi $n = 2$: $2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$ (đúng) Vì vậy, mệnh đề C sai vì nó không đúng với mọi $n \in \mathbb{N}$. D. Mệnh đề: $\forall n \in \mathbb{N}, 2n + 1$ là số lẻ Kiểm tra với vài giá trị của $n$: - Khi $n = 1$: $2 \cdot 1 + 1 = 3$ (số lẻ) - Khi $n = 2$: $2 \cdot 2 + 1 = 5$ (số lẻ) Vì $2n$ luôn là số chẵn, nên $2n + 1$ luôn là số lẻ. Do đó, mệnh đề D đúng. Tóm lại, các mệnh đề đúng là B và D. Câu 42: Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề A: $\forall n \in \mathbb{N}, n \leq 2n$ - Với mọi số tự nhiên $n$, $n$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng $2n$. Điều này đúng vì $2n$ luôn gấp đôi $n$. - Ví dụ: Nếu $n = 1$, thì $1 \leq 2 \times 1 = 2$; nếu $n = 2$, thì $2 \leq 2 \times 2 = 4$. - Mệnh đề A là đúng. Mệnh đề B: $\exists n \in \mathbb{N}, n^3 = n$ - Tồn tại ít nhất một số tự nhiên $n$ sao cho $n^3 = n$. - Ta thấy rằng $n = 1$ thỏa mãn $1^3 = 1$. - Mệnh đề B là đúng. Mệnh đề C: $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 0$ - Với mọi số thực $x$, $x^2$ luôn lớn hơn 0. - Tuy nhiên, nếu $x = 0$, thì $x^2 = 0$, không lớn hơn 0. - Mệnh đề C là sai. Mệnh đề D: $\exists x \in \mathbb{R}, x > x^2$ - Tồn tại ít nhất một số thực $x$ sao cho $x > x^2$. - Ví dụ: Nếu $x = 0.5$, thì $0.5 > (0.5)^2 = 0.25$. - Mệnh đề D là đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề C. Đáp án: $C.~\forall x\in\mathbb{R},x^2>0.$ Câu 43: Phủ định của mệnh đề tồn tại (\(\exists\)) sẽ là mệnh đề với mọi (\(\forall\)), và phủ định của đẳng thức (=) sẽ là khác (\(\ne\)). Do đó, mệnh đề phủ định của \( \exists x \in \mathbb{R}, 5x - x^2 = 0 \) là \( \forall x \in \mathbb{R}, 5x - x^2 \ne 0 \). Vậy đáp án đúng là: \[ D.~^{\prime\prime}\forall x\in\mathbb{R},5x-x^2\ne0^{\prime\prime}. \]