Câu 28 nhé.

Câu 28: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x + y \) với điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Điều kiện xác định của \( x \) và \( y \) là \( x^2 + y^2 = 1 \). Vì \( x^2 \geq 0 \) và \( y^2 \geq 0 \), nên \( -1 \leq x \leq 1 \) và \( -1 \leq y \leq 1 \). Bước 2: Biến đổi biểu thức \( P \) - Ta có \( P = x + y \). Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P \) - Ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P \). Bước 4: Đặt \( f(x, y) = x + y \) và \( g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 \). - Ta sẽ sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị của \( f(x, y) \) dưới ràng buộc \( g(x, y) = 0 \). Bước 5: Tính đạo hàm riêng của \( f(x, y) \) và \( g(x, y) \): - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 1 \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = 1 \) - \( \frac{\partial g}{\partial x} = 2x \) - \( \frac{\partial g}{\partial y} = 2y \) Bước 6: Thiết lập hệ phương trình: \[ \nabla f = \lambda \nabla g \] \[ 1 = \lambda \cdot 2x \] \[ 1 = \lambda \cdot 2y \] Bước 7: Giải hệ phương trình: \[ 1 = \lambda \cdot 2x \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2x} \] \[ 1 = \lambda \cdot 2y \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2y} \] Do đó: \[ \frac{1}{2x} = \frac{1}{2y} \Rightarrow x = y \] Bước 8: Thay \( x = y \) vào điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \): \[ x^2 + x^2 = 1 \Rightarrow 2x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \] Bước 9: Tìm giá trị của \( P \) tại các điểm này: - Khi \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = \frac{1}{\sqrt{2}} \): \[ P = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] - Khi \( x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = -\frac{1}{\sqrt{2}} \): \[ P = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \] Bước 10: Kết luận - Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = \frac{1}{\sqrt{2}} \). - Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = -\frac{1}{\sqrt{2}} \). Đáp số: - Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = \frac{1}{\sqrt{2}} \). - Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) và \( y = -\frac{1}{\sqrt{2}} \). Câu 28: Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần xác định các thông số của elip \((E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\). Bước 1: Xác định các thông số của elip - Elip có dạng chuẩn \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) với \(a^2 = 25\) và \(b^2 = 9\). - Do \(a^2 > b^2\), trục lớn nằm trên trục Ox. Vậy \(a = 5\) và \(b = 3\). Bước 2: Tính tiêu cự \(c\) - Tiêu cự \(c\) được tính bằng công thức \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\). - Vậy hai tiêu điểm của elip là \(F_1(-4, 0)\) và \(F_2(4, 0)\). Bước 3: Sử dụng tính chất của elip - Với mọi điểm \(P(x, y)\) nằm trên elip, tổng khoảng cách từ \(P\) đến hai tiêu điểm là hằng số và bằng \(2a\). - Do đó, với điểm \(M\) và \(N\) nằm trên elip, ta có: \[ MF_1 + MF_2 = 2a = 10 \] \[ NF_1 + NF_2 = 2a = 10 \] Bước 4: Sử dụng điều kiện bài toán - Theo đề bài, \(MF_1 + NF_2 = \sqrt{63}\). Bước 5: Tính tổng \(MF_2 + NF_1\) - Ta có: \[ MF_1 + MF_2 = 10 \quad \text{(1)} \] \[ NF_1 + NF_2 = 10 \quad \text{(2)} \] \[ MF_1 + NF_2 = \sqrt{63} \quad \text{(3)} \] - Từ (1) và (3), ta suy ra: \[ MF_2 = 10 - MF_1 \] \[ NF_1 = 10 - NF_2 \] - Tổng \(MF_2 + NF_1\) là: \[ MF_2 + NF_1 = (10 - MF_1) + (10 - NF_2) = 20 - (MF_1 + NF_2) \] \[ MF_2 + NF_1 = 20 - \sqrt{63} \] Bước 6: Làm tròn kết quả - Tính \(20 - \sqrt{63}\): \[ \sqrt{63} \approx 7.937 \] \[ 20 - \sqrt{63} \approx 20 - 7.937 = 12.063 \] Vậy tổng \(MF_2 + NF_1\) sau khi làm tròn đến hàng phần nghìn là \(12.063\).