Tìm tập xác định của hàm số sau:
$y = \sqrt{ \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} }$

Question

Accepted Answer

Để tìm tập xác định của hàm số $ y = \sqrt{ \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} } $, chúng ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn không âm và mẫu số khác không. Bước 1: Xác định điều kiện cho mẫu số khác không. $$ x^2 - 5x + 6 \neq 0 $$ $$ (x-2)(x-3) \neq 0 $$ $$ x \neq 2 \text{ và } x \neq 3 $$ Bước 2: Xác định điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn không âm. $$ \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} \geq 0 $$ $$ \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} \geq 0 $$ Ta cần xét dấu của phân thức này. Ta sẽ tìm các khoảng và điểm chuyển dấu của phân thức. - Các điểm chuyển dấu là $ x = -2, 2, 3 $. Bước 3: Xét dấu của phân thức trong các khoảng: - Khoảng $ (-\infty, -2) $: $$ (x-2) < 0, (x+2) < 0, (x-3) < 0 $$ $$ \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} > 0 $$ - Khoảng $ (-2, 2) $: $$ (x-2) < 0, (x+2) > 0, (x-3) < 0 $$ $$ \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} < 0 $$ - Khoảng $ (2, 3) $: $$ (x-2) > 0, (x+2) > 0, (x-3) < 0 $$ $$ \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} < 0 $$ - Khoảng $ (3, \infty) $: $$ (x-2) > 0, (x+2) > 0, (x-3) > 0 $$ $$ \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} > 0 $$ Bước 4: Kết hợp các điều kiện: $$ x \neq 2 \text{ và } x \neq 3 $$ $$ \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} \geq 0 $$ Do đó, tập xác định của hàm số là: $$ D = (-\infty, -2] \cup (3, \infty) $$ Đáp án cuối cùng: $$ D = (-\infty, -2] \cup (3, \infty) $$