giải cho tôi

Câu 50: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( z = 5x + 7y \) với các điều kiện cho trước, ta cần xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình và tìm giá trị của \( z \) tại các đỉnh của miền nghiệm này. Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình Hệ bất phương trình đã cho là: \[ \begin{cases} 2x + 3y \geq 6 \\ 3x - y \leq 15 \\ -x + y \leq 4 \\ 2x + 5y \leq 27 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} \] Bước 2: Tìm giao điểm của các đường thẳng 1. Giao điểm của \( 2x + 3y = 6 \) và \( 3x - y = 15 \): Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 3x - y = 15 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ hai với 3: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 9x - 3y = 45 \end{cases} \] Cộng hai phương trình: \[ 11x = 51 \Rightarrow x = \frac{51}{11} \] Thay \( x = \frac{51}{11} \) vào phương trình \( 3x - y = 15 \): \[ 3 \times \frac{51}{11} - y = 15 \Rightarrow y = \frac{18}{11} \] Giao điểm là \( \left( \frac{51}{11}, \frac{18}{11} \right) \). 2. Giao điểm của \( 2x + 3y = 6 \) và \( -x + y = 4 \): Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ -x + y = 4 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ -2x + 2y = 8 \end{cases} \] Cộng hai phương trình: \[ 5y = 14 \Rightarrow y = \frac{14}{5} \] Thay \( y = \frac{14}{5} \) vào phương trình \( -x + y = 4 \): \[ -x + \frac{14}{5} = 4 \Rightarrow x = \frac{6}{5} \] Giao điểm là \( \left( \frac{6}{5}, \frac{14}{5} \right) \). 3. Giao điểm của \( 3x - y = 15 \) và \( 2x + 5y = 27 \): Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3x - y = 15 \\ 2x + 5y = 27 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 5: \[ \begin{cases} 15x - 5y = 75 \\ 2x + 5y = 27 \end{cases} \] Cộng hai phương trình: \[ 17x = 102 \Rightarrow x = 6 \] Thay \( x = 6 \) vào phương trình \( 3x - y = 15 \): \[ 18 - y = 15 \Rightarrow y = 3 \] Giao điểm là \( (6, 3) \). 4. Giao điểm của \( -x + y = 4 \) và \( 2x + 5y = 27 \): Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} -x + y = 4 \\ 2x + 5y = 27 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ \begin{cases} -2x + 2y = 8 \\ 2x + 5y = 27 \end{cases} \] Cộng hai phương trình: \[ 7y = 35 \Rightarrow y = 5 \] Thay \( y = 5 \) vào phương trình \( -x + y = 4 \): \[ -x + 5 = 4 \Rightarrow x = 1 \] Giao điểm là \( (1, 5) \). Bước 3: Tính giá trị của \( z = 5x + 7y \) tại các đỉnh 1. Tại \( \left( \frac{51}{11}, \frac{18}{11} \right) \): \[ z = 5 \times \frac{51}{11} + 7 \times \frac{18}{11} = \frac{255}{11} + \frac{126}{11} = \frac{381}{11} \approx 34.64 \] 2. Tại \( \left( \frac{6}{5}, \frac{14}{5} \right) \): \[ z = 5 \times \frac{6}{5} + 7 \times \frac{14}{5} = 6 + \frac{98}{5} = \frac{128}{5} = 25.6 \] 3. Tại \( (6, 3) \): \[ z = 5 \times 6 + 7 \times 3 = 30 + 21 = 51 \] 4. Tại \( (1, 5) \): \[ z = 5 \times 1 + 7 \times 5 = 5 + 35 = 40 \] Kết luận Giá trị nhỏ nhất của \( z = 5x + 7y \) là \( 25.6 \), nhưng không có trong các lựa chọn. Do đó, cần kiểm tra lại các bước tính toán hoặc các lựa chọn có thể bị sai sót. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, không có giá trị nào khớp với kết quả tính toán. Câu 51: Để tìm các cặp số $(x; y)$ thỏa mãn hệ bất phương trình và làm cho biểu thức $S = 2x + y$ đạt giá trị lớn nhất, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng cặp số trong các đáp án đã cho. Các cặp số cần kiểm tra: - Đáp án A: $(x; y) = (4; 0)$ - Đáp án B: $(x; y) = (4; 1)$ - Đáp án C: $(x; y) = (3; 2)$ - Đáp án D: $(x; y) = (2; 2)$ Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng cặp số này với hệ bất phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} 0 \leq y \leq 2 \\ y \leq x \\ x + y \leq 5 \\ x \leq 4 \end{array} \right. $ 1. Kiểm tra cặp số $(4; 0)$: - $0 \leq 0 \leq 2$: Đúng - $0 \leq 4$: Đúng - $4 + 0 \leq 5$: Đúng - $4 \leq 4$: Đúng Vậy $(4; 0)$ thỏa mãn tất cả các bất phương trình. 2. Kiểm tra cặp số $(4; 1)$: - $0 \leq 1 \leq 2$: Đúng - $1 \leq 4$: Đúng - $4 + 1 \leq 5$: Đúng - $4 \leq 4$: Đúng Vậy $(4; 1)$ thỏa mãn tất cả các bất phương trình. 3. Kiểm tra cặp số $(3; 2)$: - $0 \leq 2 \leq 2$: Đúng - $2 \leq 3$: Đúng - $3 + 2 \leq 5$: Đúng - $3 \leq 4$: Đúng Vậy $(3; 2)$ thỏa mãn tất cả các bất phương trình. 4. Kiểm tra cặp số $(2; 2)$: - $0 \leq 2 \leq 2$: Đúng - $2 \leq 2$: Đúng - $2 + 2 \leq 5$: Đúng - $2 \leq 4$: Đúng Vậy $(2; 2)$ thỏa mãn tất cả các bất phương trình. Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức $S = 2x + y$ cho từng cặp số đã kiểm tra: - Với $(4; 0)$: $S = 2 \cdot 4 + 0 = 8$ - Với $(4; 1)$: $S = 2 \cdot 4 + 1 = 9$ - Với $(3; 2)$: $S = 2 \cdot 3 + 2 = 8$ - Với $(2; 2)$: $S = 2 \cdot 2 + 2 = 6$ Trong các giá trị trên, giá trị lớn nhất của $S$ là 9, đạt được khi $(x; y) = (4; 1)$. Do đó, đáp án đúng là: $\boxed{\textcircled{B}~(x; y) = (4; 1)}$