Có bao nhiêu k nguyên thỏa mãn?

Câu 6: Để phương trình \(2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0\) có ba nghiệm phân biệt, ta cần đảm bảo rằng đồ thị của hàm số \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + k\) cắt trục hoành tại ba điểm khác nhau. Điều này xảy ra khi hàm số có hai điểm cực trị và giá trị của hàm số tại hai điểm cực trị này nằm về hai phía của trục hoành. Bước 1: Tìm đạo hàm của \(f(x)\): \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] Bước 2: Giải phương trình \(f'(x) = 0\) để tìm các điểm cực trị: \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] \[ x^2 - x - 2 = 0 \] \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] \[ x = 2 \text{ hoặc } x = -1 \] Bước 3: Tính giá trị của \(f(x)\) tại các điểm cực trị \(x = 2\) và \(x = -1\): \[ f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + k = 16 - 12 - 24 + k = -20 + k \] \[ f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + k = -2 - 3 + 12 + k = 7 + k \] Bước 4: Để phương trình có ba nghiệm phân biệt, giá trị của \(f(x)\) tại hai điểm cực trị phải nằm về hai phía của trục hoành, tức là: \[ f(2) \cdot f(-1) < 0 \] \[ (-20 + k)(7 + k) < 0 \] Bước 5: Giải bất phương trình: \[ (-20 + k)(7 + k) < 0 \] \[ (k - 20)(k + 7) < 0 \] Bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} k & -\infty & -7 & 20 & +\infty \\ \hline (k - 20) & - & - & + & + \\ (k + 7) & - & + & + & - \\ \hline (k - 20)(k + 7) & + & - & + & - \\ \end{array} \] Từ bảng xét dấu, ta thấy rằng bất phương trình \((k - 20)(k + 7) < 0\) đúng trong khoảng \(-7 < k < 20\). Bước 6: Xác định các giá trị nguyên của \(k\) trong khoảng \(-7 < k < 20\): \[ k \in \{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\} \] Số lượng giá trị nguyên của \(k\) là: \[ 20 - (-7) - 1 = 26 \] Vậy có 26 giá trị nguyên của \(k\) thỏa mãn phương trình \(2x^3 - 3x^2 - 12x + k = 0\) có ba nghiệm phân biệt.