Giải bất phương trình: $|x - 1| + |x + 2| < 5$

Để giải bất phương trình \( |x - 1| + |x + 2| < 5 \), chúng ta sẽ xem xét các trường hợp khác nhau dựa trên các điểm chuyển tiếp của giá trị tuyệt đối, tức là tại \( x = 1 \) và \( x = -2 \). Bước 1: Xác định các khoảng cần xét Các điểm chuyển tiếp là \( x = 1 \) và \( x = -2 \). Do đó, chúng ta sẽ chia miền \( x \) thành ba khoảng: 1. \( x < -2 \) 2. \( -2 \leq x \leq 1 \) 3. \( x > 1 \) Bước 2: Giải bất phương trình trong mỗi khoảng Trường hợp 1: \( x < -2 \) Trong khoảng này, cả hai biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối đều âm: \[ |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1 \] \[ |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2 \] Do đó, bất phương trình trở thành: \[ -x + 1 - x - 2 < 5 \] \[ -2x - 1 < 5 \] \[ -2x < 6 \] \[ x > -3 \] Kết hợp với điều kiện \( x < -2 \), ta có: \[ -3 < x < -2 \] Trường hợp 2: \( -2 \leq x \leq 1 \) Trong khoảng này, \( x + 2 \geq 0 \) và \( x - 1 \leq 0 \): \[ |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1 \] \[ |x + 2| = x + 2 \] Do đó, bất phương trình trở thành: \[ -x + 1 + x + 2 < 5 \] \[ 3 < 5 \] Bất phương trình này luôn đúng trong khoảng \( -2 \leq x \leq 1 \). Trường hợp 3: \( x > 1 \) Trong khoảng này, cả hai biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối đều dương: \[ |x - 1| = x - 1 \] \[ |x + 2| = x + 2 \] Do đó, bất phương trình trở thành: \[ x - 1 + x + 2 < 5 \] \[ 2x + 1 < 5 \] \[ 2x < 4 \] \[ x < 2 \] Kết hợp với điều kiện \( x > 1 \), ta có: \[ 1 < x < 2 \] Bước 3: Kết hợp tất cả các khoảng Kết hợp tất cả các khoảng đã tìm được: \[ -3 < x < -2 \] \[ -2 \leq x \leq 1 \] \[ 1 < x < 2 \] Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là: \[ -3 < x < 2 \] Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{-3 < x < 2} \]