* giúp mình với

Mình sẽ giải từng câu trong phần trắc nghiệm để bạn tham khảo: Câu 38. Cho góc \(\alpha\) thỏa mãn \(-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\) và \(\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\). Tính giá trị biểu thức \[ P = \sin \alpha + \frac{1}{\cos \alpha}. \] **Giải:** - Từ \(\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\), ta có \(\frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi\). Do \(-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\), suy ra \(\frac{\alpha}{2} \in (-\frac{\pi}{4}, 0)\), nên \(\frac{\alpha}{2} = -\frac{\pi}{3}\), tức \(\alpha = -\frac{2\pi}{3}\). - Tính \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\): \[ \sin \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\sin \frac{2\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}. \] - Tính \(P\): \[ P = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2 = -\frac{4 + \sqrt{3}}{2}. \] Không thấy trong đáp án có giá trị âm, do đó có thể đã nhầm khi xác định \(\alpha\). Kiểm tra lại \(\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\): \[ \frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \] với \(\frac{\alpha}{2}\) phải thuộc khoảng \(-\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < 0\) thì chỉ có thể là \(\frac{\alpha}{2} = -\frac{\pi}{3}\) (đúng khoảng \(-\pi/3 \approx -1.047 < -0.785\), nên không phù hợp). Thử lại với \(\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{3}\) thì \(\alpha = \frac{2\pi}{3}\), mà \(\alpha\) phải âm, loại. Vậy phải xem xét góc khác trong khoảng \(-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\). Do đó \(\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\) với \(\frac{\alpha}{2} \in (-\frac{\pi}{4},0)\), nghĩa là \(\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{3}\) (không đúng vì dương), hoặc \(2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\) (lớn hơn \(2\pi\)), không hợp lý. Thay vào công thức lượng giác: \[ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} = \frac{1}{2}. \] Bình phương hai vế: \[ \frac{1+\cos \alpha}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow 1 + \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha = -\frac{1}{2}. \] Ta có: \[ \cos \alpha = -\frac{1}{2}. \] Vì \(\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, 0)\), góc này thuộc góc IV, \(\cos \alpha > 0\) ở góc IV, mâu thuẫn. Góc có \(\cos \alpha = -\frac{1}{2}\) là \(\alpha = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\). Góc \(\alpha\) nằm trong khoảng \(-\frac{\pi}{2},0\) không thể có \(\cos \alpha = -\frac{1}{2}\). Nên mình nghi có nhầm đề bài, hoặc là \(\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) thay vì \(\frac{1}{2}\). Nếu \(\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), thì \(\frac{\alpha}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi\), với \(\frac{\alpha}{2} \in (-\frac{\pi}{4},0)\), suy ra \(\frac{\alpha}{2} = -\frac{\pi}{6}\), tức \(\alpha = -\frac{\pi}{3}\). Lúc này: \[ \sin \alpha = \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \alpha = \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}. \] Tính \(P\): \[ P = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 = \frac{4 - \sqrt{3}}{2}. \] So với đáp án cho sẵn thì trùng với đáp án \(B\). **Vậy đáp án Câu 38 là:** \(B.~\frac{4-\sqrt{3}}{2}\). --- Câu 39. Nếu \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\), thì \(\sin^2 \alpha\) bằng bao nhiêu? **Giải:** - \(\tan \alpha = \frac{3}{4} \Rightarrow\) hình tam giác vuông có đối = 3, kề = 4, cạnh huyền = 5. - \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), nên \(\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}\). **Đáp án Câu 39:** \(B.~\frac{9}{25}\). --- Câu 40. Cho \(\tan x = 3\). Tính \[ P = \frac{2 \sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}. \] **Giải:** - \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = 3\) nên giả sử \(\cos x = t\), \(\sin x = 3t\). - Áp dụng \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ (3t)^2 + t^2 = 1 \Rightarrow 9t^2 + t^2 = 1 \Rightarrow 10 t^2 = 1 \Rightarrow t = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}. \] Chọn \(\cos x = \frac{1}{\sqrt{10}}\), \(\sin x = \frac{3}{\sqrt{10}}\). - Tính \(P\): \[ P = \frac{2 \sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} = \frac{2 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} - \frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}}} = \frac{\frac{6 - 1}{\sqrt{10}}}{\frac{3 + 1}{\sqrt{10}}} = \frac{5 / \sqrt{10}}{4 / \sqrt{10}} = \frac{5}{4} = 1.25. \] **Đáp án Câu 40:** \(B.~P = \frac{5}{4}\). --- Câu 41. Cho \(\tan \alpha = 3\), tính giá trị biểu thức \[ P = \frac{2 \sin \alpha - \cos \alpha}{3 \sin \alpha - 5 \cos \alpha}. \] **Giải:** Sử dụng \(\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}\), \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}\). - Tính tử số: \[ 2 \sin \alpha - \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} - \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{6 - 1}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}}. \] - Tính mẫu số: \[ 3 \sin \alpha - 5 \cos \alpha = 3 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} - 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{9 - 5}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}}. \] - Tính \(P\): \[ P = \frac{5/\sqrt{10}}{4/\sqrt{10}} = \frac{5}{4} = 1.25. \] **Đáp án Câu 41:** \(B.~P = \frac{5}{4}\). --- Câu 42. Tính \(L = \tan 20^\circ \cdot \tan 45^\circ \cdot \tan 70^\circ\). **Giải:** - \(\tan 45^\circ = 1\). - Sử dụng công thức: \(\tan (70^\circ) = \tan (90^\circ - 20^\circ) = \cot 20^\circ = \frac{1}{\tan 20^\circ}\). - Do đó: \[ L = \tan 20^\circ \cdot 1 \cdot \tan 70^\circ = \tan 20^\circ \cdot \frac{1}{\tan 20^\circ} = 1. \] **Đáp án Câu 42:** \(B.~1\). --- Câu 43. Tính \[ G = \cos^2 \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{2\pi}{6} + \cdots + \cos^2 \frac{5\pi}{6} + \cos^2 \pi. \] **Giải:** Có 6 góc: \(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{6}, \frac{3\pi}{6}, \frac{4\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \pi\). Tính từng giá trị: - \(\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \cos^2 \frac{\pi}{6} = \frac{3}{4}\). - \(\cos \frac{2\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos^2 \frac{\pi}{3} = \frac{1}{4}\). - \(\cos \frac{3\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{2} = 0\). - \(\cos \frac{4\pi}{6} = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \Rightarrow \cos^2 \frac{2\pi}{3} = \frac{1}{4}\). - \(\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \cos^2 \frac{5\pi}{6} = \frac{3}{4}\). - \(\cos \pi = -1 \Rightarrow \cos^2 \pi = 1\). Cộng tất cả: \[ G = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 = \left(\frac{3+1+0+1+3}{4}\right) + 1 = \frac{8}{4} + 1 = 2 + 1 = 3. \] **Đáp án Câu 43:** \(D.~3\). --- Câu 44. Đơn giản biểu thức \[ D = \sin \left(\frac{5\pi}{2} - \alpha \right) + \cos (13\pi + \alpha) - 3 \sin (\alpha - 5\pi). \] **Giải:** - \(\sin \left(\frac{5\pi}{2} - \alpha \right) = \sin \left(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\) (do chu kỳ \(2\pi\)). - \(\sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha\). - \(\cos (13\pi + \alpha) = \cos (12\pi + \pi + \alpha) = \cos (\pi + \alpha)\) (vì \(12\pi\) là chu kỳ \(2\pi \times 6\)). - \(\cos (\pi + \alpha) = - \cos \alpha\). - \(\sin (\alpha - 5\pi) = \sin (\alpha - 2\pi \times 2 - \pi) = \sin (\alpha - \pi)\) (vì chu kỳ \(2\pi\)). - \(\sin (\alpha - \pi) = - \sin \alpha\). Thay vào: \[ D = \cos \alpha + (-\cos \alpha) - 3 (- \sin \alpha) = \cos \alpha - \cos \alpha + 3 \sin \alpha = 3 \sin \alpha. \] **Đáp án Câu 44:** \(B.~3 \sin \alpha\). --- Bạn cần giải các câu tiếp theo hay phần nào khác, bạn cứ hỏi nhé!