Tính bình phương tam giác. Câu 26. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn, cho đường tròn $x^2+y^2=3$ và parabol $x^2=2y$ cắt nhau tại,P, biết rằng điểm P nằm trên đường thẳng I $L:\sqrt2x+y=\alpha$ và nằm trên góc phần tư thứ nhất. Đường thẳng L tiếp,xúc với cả hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ có cùng bán kính là $2\sqrt3.$ Gọi $Q_1,Q_2$ lần lượt là tâm của các đường tròn,$(C_1)$ và $(C_2).$ Nếu cả hai điểm $Q_1$ và $Q_2$ đều nằm trên trục tung, thì bình phương diện tích tam giác $PQ_1Q_2$ là ____.

Question

Accepted Answer

Câu 26:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tọa độ điểm P
Điểm P là giao điểm của đường tròn $x^2 + y^2 = 3$ và parabol $x^2 = 2y$. Thay $y = \frac{x^2}{2}$ vào phương trình đường tròn:

$$
x^2 + \left(\frac{x^2}{2}\right)^2 = 3
$$

$$
x^2 + \frac{x^4}{4} = 3
$$

$$
4x^2 + x^4 = 12
$$

$$
x^4 + 4x^2 - 12 = 0
$$

Đặt $t = x^2$, ta có phương trình bậc hai:

$$
t^2 + 4t - 12 = 0
$$

Giải phương trình này bằng công thức nghiệm:

$$
t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}
$$

$$
t_1 = 2, \quad t_2 = -6 \quad (\text{loại})
$$

Với $t = 2$, ta có $x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}$ (vì P nằm ở góc phần tư thứ nhất).

Tọa độ $y = \frac{x^2}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Vậy tọa độ điểm P là $(\sqrt{2}, 1)$.

Bước 2: Tìm giá trị $\alpha$
Điểm P nằm trên đường thẳng $L: \sqrt{2}x + y = \alpha$. Thay tọa độ của P vào phương trình đường thẳng:

$$
\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 1 = \alpha
$$

$$
2 + 1 = \alpha \Rightarrow \alpha = 3
$$

Bước 3: Xác định tọa độ $Q_1$ và $Q_2$
Đường thẳng $L$ tiếp xúc với hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ có bán kính $2\sqrt{3}$ và tâm $Q_1$, $Q_2$ nằm trên trục tung. Phương trình đường thẳng $L$ là $\sqrt{2}x + y = 3$, viết lại dưới dạng $y = -\sqrt{2}x + 3$.

Khoảng cách từ tâm $Q_i(0, y_i)$ đến đường thẳng $L$ là $2\sqrt{3}$:

$$
\frac{|-y_i + 3|}{\sqrt{1 + 2}} = 2\sqrt{3}
$$

$$
\frac{|3 - y_i|}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}
$$

$$
|3 - y_i| = 6
$$

Giải phương trình này:

1. $3 - y_i = 6 \Rightarrow y_i = -3$
2. $3 - y_i = -6 \Rightarrow y_i = 9$

Vậy $Q_1(0, -3)$ và $Q_2(0, 9)$.

Bước 4: Tính diện tích tam giác $PQ_1Q_2$
Tọa độ các điểm là $P(\sqrt{2}, 1)$, $Q_1(0, -3)$, $Q_2(0, 9)$. Diện tích tam giác $PQ_1Q_2$ được tính bằng công thức:

$$
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
$$

$$
S = \frac{1}{2} \left| \sqrt{2}(-3 - 9) + 0(9 - 1) + 0(1 + 3) \right|
$$

$$
S = \frac{1}{2} \left| \sqrt{2}(-12) \right| = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{2} = 6\sqrt{2}
$$

Bình phương diện tích tam giác là:

$$
S^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72
$$

Vậy bình phương diện tích tam giác $PQ_1Q_2$ là $\boxed{72}$.