Chứng minh rằng: $n^5-n$ chia hết cho 30 với mọi số tự nhiên n.

Question

Chứng minh rằng:  $n^5-n$  chia hết cho 30 với mọi số tự nhiên n.

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $ n^5 - n $ chia hết cho 30 với mọi số tự nhiên $ n $, chúng ta sẽ chứng minh rằng $ n^5 - n $ chia hết cho 2, 3 và 5.

1. Chia hết cho 2:
   - Xét $ n $ là số chẵn hoặc lẻ:
     - Nếu $ n $ là số chẵn, thì $ n $ chia hết cho 2.
     - Nếu $ n $ là số lẻ, thì $ n-1 $ hoặc $ n+1 $ là số chẵn, do đó $ n(n-1)(n+1) $ chia hết cho 2.
   - Vậy $ n^5 - n $ chia hết cho 2.

2. Chia hết cho 3:
   - Xét $ n $ theo modulo 3:
     - Nếu $ n \equiv 0 \pmod{3} $, thì $ n $ chia hết cho 3.
     - Nếu $ n \equiv 1 \pmod{3} $, thì $ n-1 \equiv 0 \pmod{3} $, do đó $ n-1 $ chia hết cho 3.
     - Nếu $ n \equiv 2 \pmod{3} $, thì $ n+1 \equiv 0 \pmod{3} $, do đó $ n+1 $ chia hết cho 3.
   - Vậy $ n^5 - n $ chia hết cho 3.

3. Chia hết cho 5:
   - Xét $ n $ theo modulo 5:
     - Nếu $ n \equiv 0 \pmod{5} $, thì $ n $ chia hết cho 5.
     - Nếu $ n \equiv 1 \pmod{5} $, thì $ n-1 \equiv 0 \pmod{5} $, do đó $ n-1 $ chia hết cho 5.
     - Nếu $ n \equiv 2 \pmod{5} $, thì $ n+1 \equiv 0 \pmod{5} $, do đó $ n+1 $ chia hết cho 5.
     - Nếu $ n \equiv 3 \pmod{5} $, thì $ n-1 \equiv 0 \pmod{5} $, do đó $ n-1 $ chia hết cho 5.
     - Nếu $ n \equiv 4 \pmod{5} $, thì $ n+1 \equiv 0 \pmod{5} $, do đó $ n+1 $ chia hết cho 5.
   - Vậy $ n^5 - n $ chia hết cho 5.

Vì $ n^5 - n $ chia hết cho 2, 3 và 5, nên $ n^5 - n $ chia hết cho 30.

Do đó, $ n^5 - n $ chia hết cho 30 với mọi số tự nhiên $ n $.

Chứng minh rằng: chia hết cho 30 với mọi số tự nhiên n.