Câu 28 nhé. Câu 28. Cho các vector $\overrightarrow a=-5i+j-3k,\overrightarrow b=i+2j-4k,\overrightarrow c=(((\overrightarrow a imes\overrightarrow b) imes i) imes i) imes i.$ Giá trị của $\overrightarrow c.(i+j+k)$,là ____.

Question

Câu 28 nhé. Câu 28. Cho các vector $\overrightarrow a=-5i+j-3k,\overrightarrow b=i+2j-4k,\overrightarrow c=(((\overrightarrow a	imes\overrightarrow b)	imes i)	imes i)	imes i.$ Giá trị của $\overrightarrow c.(i+j+k)$,là ____.

Accepted Answer

Câu 28:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = x + y $ với điều kiện $ x^2 + y^2 = 1 $.

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Điều kiện xác định của $ x $ và $ y $ là $ x^2 + y^2 = 1 $. Vì đây là phương trình đường tròn đơn vị, nên $ x $ và $ y $ nằm trong khoảng từ -1 đến 1.

Bước 2: Biến đổi biểu thức $ P $
- Ta có $ P = x + y $.

Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
- Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy số $ (x, y) $ và $ (1, 1) $ là:
$$ (x \cdot 1 + y \cdot 1)^2 \leq (x^2 + y^2)(1^2 + 1^2) $$
$$ (x + y)^2 \leq (1)(2) $$
$$ (x + y)^2 \leq 2 $$

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $ P $
- Từ bất đẳng thức trên, ta có:
$$ -\sqrt{2} \leq x + y \leq \sqrt{2} $$

Bước 5: Kiểm tra các trường hợp biên
- Khi $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ và $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $:
$$ P = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$
- Khi $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ và $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $:
$$ P = -\frac{\sqrt{2}}{2} + -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} $$

Kết luận:
- Giá trị lớn nhất của $ P $ là $ \sqrt{2} $, đạt được khi $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $ và $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
- Giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ -\sqrt{2} $, đạt được khi $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ và $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Câu 28:
Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các phép toán vector từng bước một cách cẩn thận.

Bước 1: Tính tích có hướng $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$

Cho $\overrightarrow{a} = -5i + j - 3k$ và $\overrightarrow{b} = i + 2j - 4k$.

Tích có hướng $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ được tính như sau:

$$
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-5 & 1 & -3 \
1 & 2 & -4 \
\end{vmatrix}
$$

Tính định thức:

$$
= \mathbf{i}(1 \cdot (-4) - (-3) \cdot 2) - \mathbf{j}((-5) \cdot (-4) - (-3) \cdot 1) + \mathbf{k}((-5) \cdot 2 - 1 \cdot 1)
$$

$$
= \mathbf{i}(-4 + 6) - \mathbf{j}(20 + 3) + \mathbf{k}(-10 - 1)
$$

$$
= 2\mathbf{i} - 23\mathbf{j} - 11\mathbf{k}
$$

Vậy $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = 2i - 23j - 11k$.

Bước 2: Tính $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times i$

Ta có $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = 2i - 23j - 11k$.

Tính $\overrightarrow{u} \times i$:

$$
\overrightarrow{u} \times i = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
2 & -23 & -11 \
1 & 0 & 0 \
\end{vmatrix}
$$

Tính định thức:

$$
= \mathbf{i}(0 - 0) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - (-11) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 0 - (-23) \cdot 1)
$$

$$
= 0\mathbf{i} + 11\mathbf{j} + 23\mathbf{k}
$$

Vậy $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times i = 11j + 23k$.

Bước 3: Tính $((\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times i) \times i$

Ta có $\overrightarrow{v} = 11j + 23k$.

Tính $\overrightarrow{v} \times i$:

$$
\overrightarrow{v} \times i = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
0 & 11 & 23 \
1 & 0 & 0 \
\end{vmatrix}
$$

Tính định thức:

$$
= \mathbf{i}(11 \cdot 0 - 23 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - 23 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 11 - 11 \cdot 1)
$$

$$
= 0\mathbf{i} + 23\mathbf{j} - 11\mathbf{k}
$$

Vậy $((\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times i) \times i = 23j - 11k$.

Bước 4: Tính $(((\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times i) \times i) \times i$

Ta có $\overrightarrow{w} = 23j - 11k$.

Tính $\overrightarrow{w} \times i$:

$$
\overrightarrow{w} \times i = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
0 & 23 & -11 \
1 & 0 & 0 \
\end{vmatrix}
$$

Tính định thức:

$$
= \mathbf{i}(23 \cdot 0 - (-11) \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - (-11) \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 23 - 23 \cdot 1)
$$

$$
= 0\mathbf{i} + 11\mathbf{j} - 23\mathbf{k}
$$

Vậy $\overrightarrow{c} = 11j - 23k$.

Bước 5: Tính $\overrightarrow{c} \cdot (i + j + k)$

Ta có $\overrightarrow{c} = 11j - 23k$ và $\overrightarrow{d} = i + j + k$.

Tích vô hướng:

$$
\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d} = (0i + 11j - 23k) \cdot (i + j + k)
$$

$$
= 0 \cdot 1 + 11 \cdot 1 + (-23) \cdot 1
$$

$$
= 0 + 11 - 23 = -12
$$

Vậy giá trị của $\overrightarrow{c} \cdot (i + j + k)$ là $-12$.