Tính độ dài SB. a) Cho hình chóp S.ABC có $AB=a,~BC=a\sqrt3,~\widehat{ABC}=\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90^0.$ Góc giữa,hai đường thẳng SA và BC bằng $60^0.$ Tính độ dài cạnh SB .

Question

Accepted Answer

Để tính độ dài cạnh $ SB $ trong hình chóp $ S.ABC $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các yếu tố đã cho:
   - $ AB = a $
   - $ BC = a\sqrt{3} $
   - $\widehat{ABC} = 90^\circ$
   - $\widehat{SAB} = 90^\circ$
   - $\widehat{SCB} = 90^\circ$
   - Góc giữa hai đường thẳng $ SA $ và $ BC $ là $ 60^\circ $.

2. Xác định vị trí các điểm và các góc:
   - Do $\widehat{ABC} = 90^\circ$, tam giác $ \triangle ABC $ là tam giác vuông tại $ B $.
   - Do $\widehat{SAB} = 90^\circ$, $ SA $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABC) $.
   - Do $\widehat{SCB} = 90^\circ$, $ SC $ cũng vuông góc với mặt phẳng $ (ABC) $.

3. Tính độ dài $ AC $:
   - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ \triangle ABC $:
   $$
   AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a
   $$

4. Xác định góc giữa $ SA $ và $ BC $:
   - Góc giữa $ SA $ và $ BC $ là $ 60^\circ $.

5. Tính độ dài $ SB $:
   - Do $ \widehat{SAB} = 90^\circ $ và $ \widehat{SCB} = 90^\circ $, $ S $ nằm trên đường thẳng vuông góc chung của $ AB $ và $ BC $.
   - Sử dụng định lý cosin trong tam giác $ \triangle SBC $:
   $$
   SB^2 = SC^2 + BC^2 - 2 \cdot SC \cdot BC \cdot \cos(60^\circ)
   $$
   - Vì $ \widehat{SCB} = 90^\circ $, $ SC = SB $.
   - Thay vào công thức:
   $$
   SB^2 = SB^2 + (a\sqrt{3})^2 - 2 \cdot SB \cdot a\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}
   $$
   - Giải phương trình:
   $$
   0 = 3a^2 - a\sqrt{3} \cdot SB
   $$
   $$
   a\sqrt{3} \cdot SB = 3a^2
   $$
   $$
   SB = \frac{3a^2}{a\sqrt{3}} = a\sqrt{3}
   $$

Vậy độ dài cạnh $ SB $ là $ a\sqrt{3} $.