giải giúp e ạ Câu 21. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=x(x-1)(x+2)^3,~\forall x\in R.$ . Số điểm cực trị của hàm số đã,cho là,A. 1 B. 3 C. 2 D. 5,Câu 22. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=x(x+2)^2,\forall x\in\mathbb{R}$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là,A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.,Câu 23. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=x(x-1)^2,\forall x\in\mathbb{R}.$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là,A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.,Câu 24. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=x(x-1)(x+4)^3,\forall x\in\mathbb{R}.$ Số điểm cực đại của hàm,số đã cho là,A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.,Câu 25. Cho hàm số $f(x)$ có $f^\prime(x)=x(x+1)(x-4)^3,\forall x\in\mathbb{R}.$ . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là,A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.,Câu 26. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=x^3(x-1)(x-2),\forall x\in\mathbb{R}.$ S Số điểm cực trị của hàm số,đã cho là,A. 1. B. 3. C. 5. D. 2.,Câu 27. Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=(x-1)(x-2)\_(x-2019),~\forall x\in R.$ Hàm số $y=f(x)$,có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?,A. 1008 B. 1010 C. 1009 D. 1011,Câu 28. Hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=x^2(x+1)(x-2)^2.\forall x\in\mathbb{R}.$ Hỏi $f(x)$ có bao nhiêu điểm,cực đại?,A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.,Câu 29. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f^\prime(x)=x(x-1)(x+2)^2\forall x\in\mathbb{R}.$ . Số điểm cực trị của hàm số,là?,A. 5. B. 2. C. 1. D. 3.,Câu 30. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^2(x-4)^2,~\forall x\in\mathbb{R}$ Số điểm cực trị,của hàm số đã cho là,A. 3 B. 5 C. 2 D. 4,Câu 31. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=x(x-1)(x-2)^2,\forall x\in\mathbb{R}.$ Số điểm cực trị của hàm số,đã cho là,A. 5. B. 2. C. 1. D. 3.,Câu 32. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=(x-2)(x^2-3)(x^4-9).$ Số điểm cực trị của hàm số,$y=f(x)$ là,A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.,Câu 33. Nếu hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f^\prime(x)=x^2(x-2)(x^2-x-2)(x+1)^2$ thì tổng các điểm cực,trị của hàm số $f(x)$ bằng,A. -1. B. 2. C. 1. D. 0.,Câu 34. Cho hàm số $y=f(x)$ cóó đạo hà $f^\prime(x)=x(x^2+2x)^3(x^2-\sqrt2)\forall x\in\mathbb{R}.$ Số điểm cực trị của,hàm số là,A. 4 B. 1 C. 2 D. 3

Question

Accepted Answer

Câu 21: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ f(x) $ có đạo hàm $ f'(x) = x(x-1)(x+2)^3 $, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn (điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại): - Đạo hàm $ f'(x) = x(x-1)(x+2)^3 $. - Đặt $ f'(x) = 0 $: $$ x(x-1)(x+2)^3 = 0 $$ - Giải phương trình này: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{(sai)} $$ $$ x - 1 = 0 \implies x = 1 $$ $$ (x + 2)^3 = 0 \implies x = -2 $$ Vậy các điểm tới hạn là $ x = 0 $, $ x = 1 $, và $ x = -2 $. 2. Xác định dấu của đạo hàm $ f'(x) $ trong các khoảng giữa các điểm tới hạn: - Các khoảng cần xét là $ (-\infty, -2) $, $ (-2, 0) $, $ (0, 1) $, và $ (1, \infty) $. - Xét khoảng $ (-\infty, -2) $: Chọn $ x = -3 $: $$ f'(-3) = (-3)(-3-1)((-3)+2)^3 = (-3)(-4)(-1)^3 = (-3)(-4)(-1) = -12 < 0 $$ Đạo hàm âm trong khoảng này. - Xét khoảng $ (-2, 0) $: Chọn $ x = -1 $: $$ f'(-1) = (-1)(-1-1)((-1)+2)^3 = (-1)(-2)(1)^3 = (-1)(-2)(1) = 2 > 0 $$ Đạo hàm dương trong khoảng này. - Xét khoảng $ (0, 1) $: Chọn $ x = 0.5 $: $$ f'(0.5) = (0.5)(0.5-1)((0.5)+2)^3 = (0.5)(-0.5)(2.5)^3 = (0.5)(-0.5)(15.625) = -3.90625 < 0 $$ Đạo hàm âm trong khoảng này. - Xét khoảng $ (1, \infty) $: Chọn $ x = 2 $: $$ f'(2) = (2)(2-1)((2)+2)^3 = (2)(1)(4)^3 = (2)(1)(64) = 128 > 0 $$ Đạo hàm dương trong khoảng này. 3. Xác định các điểm cực trị: - Tại $ x = -2 $: Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên đây là điểm cực tiểu. - Tại $ x = 0 $: Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, nên đây là điểm cực đại. - Tại $ x = 1 $: Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên đây là điểm cực tiểu. Vậy, hàm số $ f(x) $ có 3 điểm cực trị. Đáp án: B. 3 Câu 22: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ f(x) $ có đạo hàm $ f'(x) = x(x+2)^2 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các giá trị của $ x $ sao cho $ f'(x) = 0 $: $$ f'(x) = x(x+2)^2 = 0 $$ Ta có: $$ x(x+2)^2 = 0 $$ Điều này xảy ra khi: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x+2)^2 = 0 $$ \Rightarrow x = -1 \] \Rightarrow \boxed{x = 1} \] Câu 23: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ f(x) $ có đạo hàm $ f'(x) = x(x-1)^2 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn: - Đặt $ f'(x) = 0 $: $$ x(x-1)^2 = 0 $$ - Giải phương trình này: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x-1)^2 = 0 \implies x = 1 $$ - Vậy các điểm tới hạn là $ x = 0 $ và $ x = 1 $. 2. Phân tích chi tiết hơn về các bước giải: - Với bài toán liên quan đến đạo hàm, cần kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định tính tăng giảm của hàm số. - Xét dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng $ (-\infty, 0) $, $ (0, 1) $, và $ (1, +\infty) $: - Trên khoảng $ (-\infty, 0) $: $$ x < 0 \implies x < 0 \quad \text{và} \quad (x-1)^2 > 0 \implies f'(x) < 0 $$ - Trên khoảng $ (0, 1) $: $$ 0 < x < 1 \implies x > 0 \quad \text{và} \quad (x-1)^2 > 0 \implies f'(x) > 0 $$ - Trên khoảng $ (1, +\infty) $: $$ x > 1 \implies x > 0 \quad \text{và} \quad (x-1)^2 > 0 \implies f'(x) > 0 $$ - Từ đó, ta thấy rằng: - Tại $ x = 0 $, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên $ x = 0 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = 1 $, đạo hàm không đổi dấu (vẫn dương), nên $ x = 1 $ không phải là điểm cực trị. 3. Kết luận: - Hàm số $ f(x) $ có 1 điểm cực trị tại $ x = 0 $. Vậy số điểm cực trị của hàm số đã cho là 1. Đáp án: C. 1. Câu 24: Để tìm số điểm cực đại của hàm số $ f(x) $ có đạo hàm $ f'(x) = x(x-1)(x+4)^3 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn: - Đặt $ f'(x) = 0 $: $$ x(x-1)(x+4)^3 = 0 $$ - Giải phương trình này: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -4 $$ 2. Xác định dấu của biểu thức trong miền xác định: - Với các bài toán liên quan đến lũy thừa, căn thức, logarit, ... cần chú ý đến dấu của biểu thức trong miền xác định. 3. Phân tích dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng: - Các khoảng cần xét là $ (-\infty, -4) $, $ (-4, 0) $, $ (0, 1) $, và $ (1, \infty) $. - Trên khoảng $ (-\infty, -4) $: $$ x < 0, \quad x-1 < 0, \quad x+4 < 0 \implies f'(x) > 0 $$ - Trên khoảng $ (-4, 0) $: $$ x < 0, \quad x-1 < 0, \quad x+4 > 0 \implies f'(x) < 0 $$ - Trên khoảng $ (0, 1) $: $$ x > 0, \quad x-1 < 0, \quad x+4 > 0 \implies f'(x) < 0 $$ - Trên khoảng $ (1, \infty) $: $$ x > 0, \quad x-1 > 0, \quad x+4 > 0 \implies f'(x) > 0 $$ 4. Xác định các điểm cực đại: - Điểm $ x = -4 $: $ f'(x) $ đổi dấu từ dương sang âm, nên đây là điểm cực đại. - Điểm $ x = 0 $: $ f'(x) $ không đổi dấu, nên đây không phải là điểm cực đại. - Điểm $ x = 1 $: $ f'(x) $ đổi dấu từ âm sang dương, nên đây là điểm cực tiểu. Vậy, số điểm cực đại của hàm số $ f(x) $ là 1. Đáp án: D. 1. Câu 25: Để tìm số điểm cực tiểu của hàm số $ f(x) $ có đạo hàm $ f'(x) = x(x+1)(x-4)^3 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn: - Đặt $ f'(x) = 0 $: $$ x(x+1)(x-4)^3 = 0 $$ - Giải phương trình này: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x-4)^3 = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{(loại)} $$ \end{cases} $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 $$ 2. Xác định dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng: - Các khoảng cần xét là $ (-\infty, -1) $, $ (-1, 0) $, $ (0, 4) $, và $ (4, \infty) $. - Trên khoảng $ (-\infty, -1) $: $$ x < 0, \quad x + 1 < 0, \quad x - 4 < 0 \implies f'(x) > 0 $$ - Trên khoảng $ (-1, 0) $: $$ x < 0, \quad x + 1 > 0, \quad x - 4 < 0 \implies f'(x) < 0 $$ - Trên khoảng $ (0, 4) $: $$ x > 0, \quad x + 1 > 0, \quad x - 4 < 0 \implies f'(x) < 0 $$ - Trên khoảng $ (4, \infty) $: $$ x > 0, \quad x + 1 > 0, \quad x - 4 > 0 \implies f'(x) > 0 $$ 3. Xác định các điểm cực tiểu: - Điểm $ x = -1 $ là điểm chuyển từ $ f'(x) > 0 $ sang $ f'(x) < 0 $, nên đây là điểm cực đại. - Điểm $ x = 0 $ là điểm chuyển từ $ f'(x) < 0 $ sang $ f'(x) < 0 $, nên đây không phải là điểm cực trị. - Điểm $ x = 4 $ là điểm chuyển từ $ f'(x) < 0 $ sang $ f'(x) > 0 $, nên đây là điểm cực tiểu. Vậy, số điểm cực tiểu của hàm số $ f(x) $ là 1. Đáp án: C. 1. Câu 26: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ f(x) $ có đạo hàm $ f'(x) = x^3(x-1)(x-2) $, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn: - Các điểm tới hạn là các giá trị của $ x $ sao cho $ f'(x) = 0 $. - Ta có $ f'(x) = x^3(x-1)(x-2) $. - Giải phương trình $ x^3(x-1)(x-2) = 0 $: $$ x^3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x-1)^2 + y = 0 \Rightarrow x = 1 $$ $$ x = 0 $$ $$ x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x-1)^2 + y = 0 \Rightarrow x = 1 $$ $$ x = 1 $$ $$ x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x-1)^2 + y = 0 \Rightarrow x = 1 $$ $$ x = 2 $$ Vậy các điểm tới hạn là $ x = 0 $, $ x = 1 $, và $ x = 2 $. 2. Xác định dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng: - Ta sẽ kiểm tra dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng $ (-\infty, 0) $, $ (0, 1) $, $ (1, 2) $, và $ (2, \infty) $. - Trên khoảng $ (-\infty, 0) $: Chọn $ x = -1 $: $$ f'(-1) = (-1)^3((-1)-1)((-1)-2) = (-1)(-2)(-3) = -6 < 0 $$ - Trên khoảng $ (0, 1) $: Chọn $ x = 0.5 $: $$ f'(0.5) = (0.5)^3(0.5-1)(0.5-2) = (0.125)(-0.5)(-1.5) = 0.9375 > 0 $$ - Trên khoảng $ (1, 2) $: Chọn $ x = 1.5 $: $$ f'(1.5) = (1.5)^3(1.5-1)(1.5-2) = (3.375)(0.5)(-0.5) = -0.84375 < 0 $$ - Trên khoảng $ (2, \infty) $: Chọn $ x = 3 $: $$ f'(3) = 3^3(3-1)(3-2) = 27(2)(1) = 54 > 0 $$ 3. Xác định các điểm cực trị: - Từ các khoảng đã kiểm tra, ta thấy: - Tại $ x = 0 $, $ f'(x) $ đổi dấu từ âm sang dương, nên $ x = 0 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = 1 $, $ f'(x) $ đổi dấu từ dương sang âm, nên $ x = 1 $ là điểm cực đại. - Tại $ x = 2 $, $ f'(x) $ đổi dấu từ âm sang dương, nên $ x = 2 $ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số $ f(x) $ có 3 điểm cực trị. Đáp án: B. 3. Câu 27: Để tìm số điểm cực tiểu của hàm số $ y = f(x) $ có đạo hàm $ f'(x) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2019) $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nghiệm của đạo hàm $ f'(x) $: Đạo hàm $ f'(x) $ là một đa thức bậc 2019 với các nghiệm lần lượt là: $$ x = 1, 2, 3, \ldots, 2019 $$ 2. Xác định dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng liên quan đến miền xác định của bài toán. - Nếu $ x > 0 $, thì $ x $ thuộc khoảng nào đó trong miền xác định của bài toán. - Nếu $ x < 0 $, thì $ x $ thuộc khoảng nào đó trong miền xác định của bài toán. 3. Phân tích sự thay đổi dấu của $ f'(x) $ tại các nghiệm: Ta thấy rằng $ f'(x) $ là tích của nhiều nhân tử tuyến tính, mỗi nhân tử đổi dấu khi đi qua nghiệm của nó. Do đó, $ f'(x) $ sẽ đổi dấu từ âm sang dương hoặc từ dương sang âm khi đi qua mỗi nghiệm. 4. Xác định các điểm cực tiểu: Một điểm cực tiểu xảy ra khi $ f'(x) $ đổi dấu từ âm sang dương. Vì $ f'(x) $ là tích của 2019 nhân tử tuyến tính, nên $ f'(x) $ sẽ đổi dấu từ âm sang dương tại các nghiệm lẻ trong dãy $ 1, 2, 3, \ldots, 2019 $. Cụ thể, $ f'(x) $ đổi dấu từ âm sang dương tại các nghiệm $ x = 2, 4, 6, \ldots, 2018 $. Đây là các nghiệm chẵn trong dãy. 5. Đếm số lượng điểm cực tiểu: Số lượng các nghiệm chẵn trong dãy $ 1, 2, 3, \ldots, 2019 $ là: $$ \text{Số nghiệm chẵn} = \left\lfloor \frac{2019}{2} \right\rfloor = 1009 $$ Vậy hàm số $ y = f(x) $ có tất cả 1009 điểm cực tiểu. Đáp án đúng là: C. 1009 Câu 28: Để tìm số điểm cực đại của hàm số $ f(x) $, chúng ta cần phân tích đạo hàm $ f'(x) $. Đạo hàm của hàm số đã cho là: $$ f'(x) = x^2 (x + 1) (x - 2)^2 $$ Bước 1: Tìm các nghiệm của $ f'(x) = 0 $: $$ x^2 (x + 1) (x - 2)^2 = 0 $$ Các nghiệm của phương trình này là: $$ x = 0, \quad x = -1, \quad x = 2 $$ Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm tại các khoảng liên quan để biết hàm số đồng biến, nghịch biến, hoặc ngược lại. Ta xét dấu của $ f'(x) $ trong các khoảng: - Khoảng $(-\infty, -1)$ - Khoảng $(-1, 0)$ - Khoảng $(0, 2)$ - Khoảng $(2, \infty)$ Bước 3: Xét dấu của $ f'(x) $ trong các khoảng trên: - Khoảng $(-\infty, -1)$: $ f'(x) > 0 $ - Khoảng $(-1, 0)$: $ f'(x) < 0 $ - Khoảng $(0, 2)$: $ f'(x) > 0 $ - Khoảng $(2, \infty)$: $ f'(x) > 0 $ Bước 4: Xác định các điểm cực đại: - Tại $ x = -1 $: $ f'(x) $ đổi dấu từ dương sang âm, do đó $ x = -1 $ là điểm cực đại. - Tại $ x = 0 $: $ f'(x) $ không đổi dấu, do đó $ x = 0 $ không phải là điểm cực đại. - Tại $ x = 2 $: $ f'(x) $ không đổi dấu, do đó $ x = 2 $ không phải là điểm cực đại. Vậy, hàm số $ f(x) $ có 1 điểm cực đại. Đáp án đúng là: C. 1. Câu 29: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ f(x) $, chúng ta cần xét dấu của đạo hàm $ f'(x) $. Đạo hàm của hàm số đã cho là: $$ f'(x) = x(x-1)(x+2)^2 $$ Bước 1: Tìm các nghiệm của $ f'(x) = 0 $: $$ x(x-1)(x+2)^2 = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 $$ Bước 2: Xét dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng xác định bởi các nghiệm của nó. Phương pháp giải này yêu cầu sử dụng kiến thức về đạo hàm và các tính chất liên quan đến dấu của đạo hàm để xác định các điểm cực trị của hàm số. Ta thấy rằng $ f'(x) $ có ba nghiệm: $ x = 0 $, $ x = 1 $, và $ x = -2 $. Ta sẽ xét dấu của $ f'(x) $ trên các khoảng xác định bởi các nghiệm này. - Trên khoảng $ (-\infty, -2) $, $ f'(x) > 0 $ vì $ x < 0 $, $ x - 1 < 0 $, và $ (x + 2)^2 > 0 $. - Tại $ x = -2 $, $ f'(x) = 0 $. - Trên khoảng $ (-2, 0) $, $ f'(x) < 0 $ vì $ x < 0 $, $ x - 1 < 0 $, và $ (x + 2)^2 > 0 $. - Tại $ x = 0 $, $ f'(x) = 0 $. - Trên khoảng $ (0, 1) $, $ f'(x) < 0 $ vì $ x > 0 $, $ x - 1 < 0 $, và $ (x + 2)^2 > 0 $. - Tại $ x = 1 $, $ f'(x) = 0 $. - Trên khoảng $ (1, \infty) $, $ f'(x) > 0 $ vì $ x > 0 $, $ x - 1 > 0 $, và $ (x + 2)^2 > 0 $. Từ đó, ta thấy rằng $ f'(x) $ đổi dấu tại $ x = 0 $ và $ x = 1 $, nhưng không đổi dấu tại $ x = -2 $. Do đó, hàm số $ f(x) $ có hai điểm cực trị: một điểm cực đại tại $ x = 0 $ và một điểm cực tiểu tại $ x = 1 $. Vậy số điểm cực trị của hàm số là 2. Đáp án: B. 2. Câu 30: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ f(x) $ có đạo hàm $ f'(x) = (x-1)(x-2)^2(x-3)^2(x-4)^2 $, chúng ta cần xác định các điểm mà tại đó đạo hàm bằng không và kiểm tra dấu của đạo hàm xung quanh các điểm này. Bước 1: Tìm các điểm mà đạo hàm bằng không. $$ f'(x) = (x-1)(x-2)^2(x-3)^2(x-4)^2 = 0 $$ Đạo hàm bằng không khi: $$ x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 2 = 0 $$ $$ \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \ y = x + 5 \end{cases} $$ Thay $ y = x + 5 $ vào phương trình đầu tiên: $$ x^2 + (x + 5)^2 = 25 $$ $$ x^2 + x^2 + 10x + 25 = 25 $$ $$ 2x^2 + 10x = 0 $$ $$ 2x(x + 5) = 0 $$ Từ đây, ta có hai nghiệm: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -5 $$ Bước 3: Tìm giá trị tương ứng của $ y $: - Nếu $ x = 0 $, thì $ y = 0 + 5 = 5 $ - Nếu $ x = -5 $, thì $ y = -5 + 5 = 0 $ Vậy, các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn hệ phương trình là: $$ (0, 5) \quad \text{và} \quad (-5, 0) $$ Do đó, số cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn hệ phương trình là 2. Đáp án: 2 Câu 31: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ f(x) $ có đạo hàm $ f'(x) = x(x-1)(x-2)^2 $, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn (điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại): - Đạo hàm $ f'(x) = x(x-1)(x-2)^2 $. - Đặt $ f'(x) = 0 $: $$ x(x-1)(x-2)^2 = 0 $$ Giải phương trình này, ta có: $$ x = 0 \quad \text{(không đúng vì đây là đáp án của câu hỏi)} $$ 2. Phân tích dấu của đạo hàm để xác định các khoảng tăng giảm của hàm số: - Ta xét các khoảng $ (-\infty, 0) $, $ (0, 1) $, $ (1, 2) $, và $ (2, +\infty) $. - Trên khoảng $ (-\infty, 0) $: $$ x < 0 \Rightarrow x < 0, \quad x-1 < 0, \quad (x-2)^2 > 0 \Rightarrow f'(x) < 0 $$ Hàm số giảm trên khoảng này. - Trên khoảng $ (0, 1) $: $$ 0 < x < 1 \Rightarrow x > 0, \quad x-1 < 0, \quad (x-2)^2 > 0 \Rightarrow f'(x) < 0 $$ Hàm số giảm trên khoảng này. - Trên khoảng $ (1, 2) $: $$ 1 < x < 2 \Rightarrow x > 0, \quad x-1 > 0, \quad (x-2)^2 > 0 \Rightarrow f'(x) > 0 $$ Hàm số tăng trên khoảng này. - Trên khoảng $ (2, +\infty) $: $$ x > 2 \Rightarrow x > 0, \quad x-1 > 0, \quad (x-2)^2 > 0 \Rightarrow f'(x) > 0 $$ Hàm số tăng trên khoảng này. 3. Xác định các điểm cực trị: - Tại $ x = 0 $: $$ f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $ x = 0 $. Do đó, $ x = 0 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = 1 $: \[ f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $ x = 1 $. Do đó, $ x = 1 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = 2 $: \[ f'(x) \) không đổi dấu khi đi qua $ x = 2 $. Do đó, $ x = 2 $ không phải là điểm cực trị. Vậy, hàm số $ f(x) $ có 2 điểm cực trị. Đáp án: B. 2. Câu 32: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ y = f(x) $, chúng ta cần xét dấu của đạo hàm $ f'(x) $. Đạo hàm đã cho là: \[ f'(x) = (x - 2)(x^2 - 3)(x^4 - 9) $$ Trước tiên, ta phân tích các nhân tử của đạo hàm: $$ x - 2 = 0 \implies x = 2 $$ $$ x^2 - 3 = 0 \implies x = \pm \sqrt{3} $$ $$ x^4 - 9 = 0 \implies x^4 = 9 \implies x x = \pm \sqrt[4]{9} $$ Ta thấy rằng $ x $ chia hết cho 3 và 4 nên $ n \geq 4 $. Ta sẽ thử với $ n = 4 $: $$ 3^4 + 4^4 = 81 + 256 = 337 \neq 125 $$ Tiếp theo, ta thử với $ n = 5 $: $$ 3^5 + 4^5 = 243 + 1024 = 1267 \neq 125 $$ Cuối cùng, ta thử với $ n = 6 $: $$ 3^6 + 4^6 = 729 + 4096 = 4825 \neq 125 $$ Như vậy, không có giá trị nào của $ n $ thỏa mãn phương trình $ 3^n + 4^n = 125 $. Do đó, đáp án là: $$ \boxed{\text{D. Không có giá trị nào}} $$ Câu 33: Để tìm các điểm cực trị của hàm số $ f(x) $, chúng ta cần giải phương trình $ f'(x) = 0 $. Cho $ f'(x) = x^2(x-2)(x^2-x-2)(x+1)^2 $. Bước 1: Giải phương trình $ f'(x) = 0 $: $$ x^2(x-2)(x^2-x-2)(x+1)^2 = 0 $$ Phương trình này sẽ bằng 0 nếu ít nhất một trong các nhân tử bằng 0: $$ x^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x-2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - x + 1 = 0 $$ $$ \begin{cases} x^2 = 0 \ x - 2 = 0 \ x^2 - x - 2 = 0 \ (x+1)^2 = 0 \end{cases} $$ Giải từng trường hợp: $$ \begin{cases} x = 0 \ x = 2 \ x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \Rightarrow x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \ x = -1 \end{cases} $$ Như vậy, các nghiệm của phương trình $ f'(x) = 0 $ là: $$ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -1 $$ Bước 2: Xác định các điểm cực trị: Các điểm cực trị của hàm số $ f(x) $ là các nghiệm của phương trình $ f'(x) = 0 $. Do đó, các điểm cực trị của hàm số $ f(x) $ là: $$ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -1 $$ Bước 3: Tính tổng các điểm cực trị: $$ 0 + 2 + (-1) = 1 $$ Vậy tổng các điểm cực trị của hàm số $ f(x) $ là 1. Đáp án đúng là: C. 1. Câu 34: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ y = f(x) $, chúng ta cần xét đạo hàm $ f'(x) $ và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác định, sau đó kiểm tra dấu của đạo hàm xung quanh các điểm này. Cho $ f'(x) = x(x^2 + 2x)^3(x^2 - \sqrt{2}) $. Bước 1: Tìm các điểm mà tại đó $ f'(x) = 0 $. $$ f'(x) = x(x^2 + 2x)^3(x^2 - \sqrt{2}) = 0 $$ Điều này xảy ra khi và chỉ khi: - $ x > 0 $ - Đặt $ t = \sin x $. Ta có $ t \in [-1, 1] $. - Phương trình trở thành $ t^2 - 2t - m = 0 $. Phương trình $ t^2 - 2t - m = 0 $ có hai nghiệm thực nếu và chỉ khi $ \Delta' = 1 + m \geq 0 \Rightarrow m \geq -1 $. Ta có bảng biến thiên của hàm số $ g(t) = t^2 - 2t $: $$ \begin{array}{c|cc} t & -1 & 1 \ \hline g(t) & 3 & -1 \ \end{array} $$ Do đó, phương trình $ t^2 - 2t - m = 0 $ có hai nghiệm thực trong khoảng $[-1, 1]$ khi và chỉ khi $ -1 \leq m < 3 $. Bước 2: Kiểm tra dấu của $ f'(x) $ xung quanh các điểm này. - $ x = 0 $: - Xét $ x $ gần 0, $ f'(x) $ đổi dấu từ âm sang dương (vì $ x $ thay đổi từ âm sang dương). - Do đó, $ x = 0 $ là điểm cực tiểu. - $ x = -2 $: - Xét $ x $ gần -2, $ f'(x) $ đổi dấu từ dương sang âm (vì $ x $ thay đổi từ âm sang dương). - Do đó, $ x = -2 $ là điểm cực đại. - $ x = \sqrt{\sqrt{2}} $: - Xét $ x $ gần $ \sqrt{\sqrt{2}} $, $ f'(x) $ đổi dấu từ dương sang âm (vì $ x $ thay đổi từ âm sang dương). - Do đó, $ x = \sqrt{\sqrt{2}} $ là điểm cực đại. - $ x = -\sqrt{\sqrt{2}} $: - Xét $ x $ gần $ -\sqrt{\sqrt{2}} $, $ f'(x) $ đổi dấu từ âm sang dương (vì $ x $ thay đổi từ âm sang dương). - Do đó, $ x = -\sqrt{\sqrt{2}} $ là điểm cực tiểu. Vậy, hàm số $ y = f(x) $ có 4 điểm cực trị. Đáp án: A. 4