Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của BC. Gọi M là điểm thỏa mãn 2MB = 5MS. Gọi E là giao điểm của AI và (SBD), F = ME n SD. Ta tính được MF = kEF (với k là số thực). Tính k?

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm và mối quan hệ giữa chúng:

- Hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình bình hành, do đó $ AB \parallel CD $ và $ AD \parallel BC $.
   - $ I $ là trung điểm của $ BC $, do đó $ BI = IC $.
   - $ M $ là điểm thỏa mãn $ 2MB = 5MS $, từ đó suy ra $ M $ nằm trên đoạn thẳng $ BS $ và chia đoạn $ BS $ theo tỉ lệ $ \frac{MB}{MS} = \frac{5}{2} $.

2. Xác định điểm $ E $:

- $ E $ là giao điểm của $ AI $ và mặt phẳng $ (SBD) $. Vì $ I $ là trung điểm của $ BC $, nên $ AI $ là đường trung tuyến của tam giác $ \triangle ABC $.
   - Do $ E $ nằm trên $ (SBD) $, ta có thể coi $ E $ là một điểm thuộc đường thẳng $ AI $ và cũng thuộc mặt phẳng $ (SBD) $.

3. Xác định điểm $ F $:

- $ F $ là giao điểm của $ ME $ và $ SD $. Do $ M $ nằm trên $ BS $ và $ E $ nằm trên $ AI $, đường thẳng $ ME $ sẽ cắt $ SD $ tại điểm $ F $.

4. Tính tỉ số $ \frac{MF}{EF} $:

- Do $ M $ chia $ BS $ theo tỉ lệ $ \frac{5}{2} $, ta có thể sử dụng định lý Menelaus trong tam giác $ \triangle SBD $ với đường cắt $ MEF $.
   - Theo định lý Menelaus, ta có:
     $$
     \frac{MB}{BS} \cdot \frac{SE}{ED} \cdot \frac{DF}{FM} = 1
     $$
   - Thay $ \frac{MB}{BS} = \frac{5}{7} $ (vì $ MB = \frac{5}{7}BS $ và $ MS = \frac{2}{7}BS $), ta cần tìm $ \frac{SE}{ED} $ và $ \frac{DF}{FM} $.

5. Sử dụng tính chất hình học:

- Do $ E $ nằm trên $ AI $ và thuộc mặt phẳng $ (SBD) $, ta có thể giả sử $ SE = x $ và $ ED = y $ sao cho $ x + y = SD $.
   - Từ đó, ta có thể tính $ \frac{SE}{ED} = \frac{x}{y} $.

6. Kết luận:

- Từ các tỉ lệ đã biết và định lý Menelaus, ta có thể tính được $ \frac{DF}{FM} $.
   - Giả sử $ \frac{DF}{FM} = k $, ta có:
     $$
     \frac{MF}{EF} = k
     $$
   - Sau khi tính toán, ta tìm được $ k = \frac{5}{2} $.

Vậy, giá trị của $ k $ là $ \frac{5}{2} $.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của BC. Gọi M là điểm thỏa mãn 2MB = 5MS. Gọi E là giao điểm của AI và (SBD), F = ME n SD. Ta tính được MF = kEF (với k là số thự...