Giúp mih ạ Câu 3: Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x+2}$ có đồ thị là (C). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: $2-1=1.$,a) Đồ thị hàm số (C) có hai đường tiệm cận.,b) Giao điểm của hai tiệm cận là $I(-2;-6).$,c) Khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên bằng $4\sqrt2.$,d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (C) đi qua điểm $M(0;-4).$

Question

Accepted Answer

Câu 3:
Để xét tính đúng sai của các khẳng định, trước tiên ta cần phân tích hàm số đã cho:

$$ y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x + 2}. $$

a) Đồ thị hàm số (C) có hai đường tiệm cận.

Xét tiệm cận đứng:

Tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Ta có:

$$ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2. $$

Tại $ x = -2 $, tử số là:

$$ (-2)^2 - 2(-2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 \neq 0. $$

Vậy $ x = -2 $ là tiệm cận đứng.

Xét tiệm cận ngang hoặc xiên:

Vì bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số (bậc 2 so với bậc 1), nên hàm số có tiệm cận xiên. Ta thực hiện phép chia đa thức:

$$ x^2 - 2x + 2 : (x + 2) $$

Kết quả phép chia là:

$$ x^2 - 2x + 2 = (x + 2)(x - 4) + 10. $$

Vậy tiệm cận xiên là:

$$ y = x - 4. $$

Kết luận cho a): Đúng, đồ thị có hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng $ x = -2 $ và tiệm cận xiên $ y = x - 4 $.

b) Giao điểm của hai tiệm cận là $ I(-2;-6) $.

Giao điểm của hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình:

$$
\begin{cases}
x = -2 \
y = x - 4
\end{cases}
$$

Thay $ x = -2 $ vào phương trình $ y = x - 4 $:

$$ y = -2 - 4 = -6. $$

Vậy giao điểm là $ I(-2; -6) $.

Kết luận cho b): Đúng, giao điểm của hai tiệm cận là $ I(-2; -6) $.

c) Khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên bằng $ 4\sqrt{2} $.

Tiệm cận xiên có phương trình $ y = x - 4 $. Khoảng cách từ điểm $ O(0,0) $ đến đường thẳng $ y = x - 4 $ được tính bằng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

$$ d = \frac{|0 - 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}. $$

Kết luận cho c): Sai, khoảng cách từ $ O $ đến tiệm cận xiên là $ 2\sqrt{2} $, không phải $ 4\sqrt{2} $.

d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (C) đi qua điểm $ M(0;-4) $.

Thay tọa độ điểm $ M(0, -4) $ vào phương trình tiệm cận xiên $ y = x - 4 $:

$$ -4 = 0 - 4. $$

Điều này đúng.

Kết luận cho d): Đúng, đường tiệm cận xiên đi qua điểm $ M(0; -4) $.

Tóm lại, các khẳng định a), b), và d) là đúng, còn khẳng định c) là sai.