giúp em với ạ Bàii 15.CChứng iinh ácc đngtthức aau trong điều iệnncó ghĩĩa của biểu thức,$ extcircled{a)}~\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=\frac34+\frac14\cos4\alpha$ $b)~\frac{1-\cos\alpha+\cos2\alpha}{\sin2\alpha-\sin\alpha}=\cot\alpha$,$c)~\frac{\sin^4\alpha-\cos^4\alpha+\cos^2\alpha}{2(1-\cos\alpha)}=\cos^2\frac\alpha2.$ $d)~\frac{1-\cos2x+\sin2x}{1+\cos2x+\sin2x}.\cot x=1$

Question

giúp em với ạ Bàii 15.CChứng iinh ácc  đngtthức aau trong điều  iệnncó  ghĩĩa của biểu thức,$	extcircled{a)}~\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=\frac34+\frac14\cos4\alpha$ $b)~\frac{1-\cos\alpha+\cos2\alpha}{\sin2\alpha-\sin\alpha}=\cot\alpha$,$c)~\frac{\sin^4\alpha-\cos^4\alpha+\cos^2\alpha}{2(1-\cos\alpha)}=\cos^2\frac\alpha2.$ $d)~\frac{1-\cos2x+\sin2x}{1+\cos2x+\sin2x}.\cot x=1$

Accepted Answer

Bàii:
Để chứng minh các đẳng thức đã cho, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh đẳng thức: 
$$
\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos4\alpha
$$

Bước 1: Điều kiện xác định

Biểu thức này xác định với mọi giá trị của $\alpha$.

Bước 2: Chứng minh

Ta có:
$$
\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 + (\cos^2\alpha)^2
$$

Sử dụng hằng đẳng thức:
$$
a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab
$$

Với $a = \sin^2\alpha$ và $b = \cos^2\alpha$, ta có:
$$
\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha
$$

Vì $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, nên:
$$
\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha
$$

Sử dụng công thức $\sin^2\alpha\cos^2\alpha = \frac{1}{4}\sin^2 2\alpha$, ta có:
$$
\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\alpha
$$

Sử dụng công thức $\sin^2 2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{2}$, ta có:
$$
\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos 4\alpha}{2}
$$

$$
= 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4\alpha
$$

$$
= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4\alpha
$$

Vậy, đẳng thức đã được chứng minh.

b) Chứng minh đẳng thức:
$$
\frac{1-\cos\alpha+\cos2\alpha}{\sin2\alpha-\sin\alpha} = \cot\alpha
$$

Bước 1: Điều kiện xác định

Biểu thức xác định khi $\sin2\alpha \neq \sin\alpha$.

Bước 2: Chứng minh

Ta có:
$$
\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1
$$
$$
\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha
$$

Thay vào biểu thức:
$$
\frac{1-\cos\alpha+(2\cos^2\alpha-1)}{2\sin\alpha\cos\alpha-\sin\alpha}
$$

$$
= \frac{2\cos^2\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha(2\cos\alpha-1)}
$$

$$
= \frac{\cos\alpha(2\cos\alpha-1)}{\sin\alpha(2\cos\alpha-1)}
$$

Khi $2\cos\alpha-1 \neq 0$, ta có:
$$
= \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cot\alpha
$$

Vậy, đẳng thức đã được chứng minh.

c) Chứng minh đẳng thức:
$$
\frac{\sin^4\alpha-\cos^4\alpha+\cos^2\alpha}{2(1-\cos\alpha)} = \cos^2\frac{\alpha}{2}
$$

Bước 1: Điều kiện xác định

Biểu thức xác định khi $\cos\alpha \neq 1$.

Bước 2: Chứng minh

Ta có:
$$
\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)
$$

Vì $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, nên:
$$
\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha
$$

Thay vào biểu thức:
$$
\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha}{2(1-\cos\alpha)}
$$

$$
= \frac{\sin^2\alpha}{2(1-\cos\alpha)}
$$

Sử dụng công thức $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$, ta có:
$$
= \frac{1 - \cos^2\alpha}{2(1-\cos\alpha)}
$$

$$
= \frac{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{2(1-\cos\alpha)}
$$

Khi $1-\cos\alpha \neq 0$, ta có:
$$
= \frac{1+\cos\alpha}{2}
$$

Sử dụng công thức $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}$, ta có:
$$
= \cos^2\frac{\alpha}{2}
$$

Vậy, đẳng thức đã được chứng minh.

d) Chứng minh đẳng thức:
$$
\frac{1-\cos2x+\sin2x}{1+\cos2x+\sin2x}\cdot\cot x = 1
$$

Bước 1: Điều kiện xác định

Biểu thức xác định khi $\sin x \neq 0$.

Bước 2: Chứng minh

Ta có:
$$
\cos2x = 2\cos^2x - 1
$$
$$
\sin2x = 2\sin x\cos x
$$

Thay vào biểu thức:
$$
\frac{1-(2\cos^2x-1)+2\sin x\cos x}{1+(2\cos^2x-1)+2\sin x\cos x}
$$

$$
= \frac{2 - 2\cos^2x + 2\sin x\cos x}{2\cos^2x + 2\sin x\cos x}
$$

$$
= \frac{2(1-\cos^2x) + 2\sin x\cos x}{2(\cos^2x + \sin x\cos x)}
$$

$$
= \frac{2\sin^2x + 2\sin x\cos x}{2\cos x(\cos x + \sin x)}
$$

$$
= \frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)}
$$

Khi $\cos x + \sin x \neq 0$, ta có:
$$
= \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x
$$

Vậy:
$$
\tan x \cdot \cot x = 1
$$

Vậy, đẳng thức đã được chứng minh.