cưu vơi a fvvhfdxcbg Câu 36. Giá trị cực đại của hàm số $y=x^3-3x+2$ bằng,B. 0.. D. 4..,$B\Box~8/9~f(x)=(x^2-3)^2.$ Giá trị cực đại của hàm số $f^\prime(x)$ bằng,A. -8. $B.~\frac12..$ C. 8.. D. 9.,Câu 38. Đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2-9x+1$ có hai cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng,AB ?,$A.~M(0;-1)..$ $B.~N(1;-10)...$ $C.~P(1;0)...$ $D.~Q(-1;10).$,Câu 39. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng $d:y=(2m-1)x+3+m$ vuông góc với đường thẳng,đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1.$,$A.~m=-\frac12..$ $B.~m=\frac32..$ $C.~m=\frac14..$ $D.~m=\frac34..$,Câu 40. Cho hàm số $y=-x^4+2x^2+3.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?,A. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.,B. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.,C. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.,D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.,Câu 41. Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^4-2x^2+3$,$A.~S=\frac12..$ $B.~S=1.$ $C.~S=2.$ $D.~S=4.$,Câu 42. Hàm số $y=x^5+2x^3-1$ có bao nhiêu điểm cực trị?,A. 0.. B. 2.. C. 3.. D. 4..,Câu 43. Hàm số $y=\sqrt[3]{x^2}$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?,A. 0.. B. 1.. C. 2.. D. 3..,Câu 44. Hàm số $y=|x|^3-3x+1$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?,A. 0.. B. 1.. C. 2.. D. 3..,Câu 45. Hàm số $y=|x^4-4x^2-1|$ có bao nhiêu điểm cực trị?,A. 1.. B. 2.. C. 3.. D. 5..,Câu 46. Giá trị cực đại của hàm số $y=x+2\cos x$ trên khoảng $(0;\pi)$ bằng,$A.~\frac{5\pi}6+\sqrt3..$ $B.~\frac{5\pi}6-\sqrt3..$ $C.~\frac\pi6+\sqrt3..$ $D.~\frac\pi6-\sqrt3..$,Câu 47. Biết rằng trên khoảng $(0;2\pi)$ hàm số $y=a\sin x+b\cos x+x$ đạt cực trị tại $x=\frac\pi3$ và $x=\pi$ Tổng,a+b bằng,A. 3.. $B.~\frac{\sqrt3}3+1..$ $C.~\sqrt3+1...$ $D.~\sqrt3-1.$,Câu 48. Hàm số $y=(x^2-4)^2(1-2x)^3$ có bao nhiêu điểm cực trị?,A. 1.. B. 3.. C. 4.. D. 6.,Câu 49. Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số $y=x^3-3mx^2+6mx+m$ có hai điểm cực trị là,$A.~(0;2)..$ $B.~(-\infty;0)\cup(2;+\infty)...$ $C.~(0;8)..$ $D.~(-\infty;0)\cup(8;+\infty).$,Câu 50. Biết rằng hàm số $y=(x+a)^3+(x+b)^3-x^3$ có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?,$A.~ab0..$ $B.~ab

Question

cưu vơi a fvvhfdxcbg Câu 36. Giá trị cực đại của hàm số $y=x^3-3x+2$ bằng,B. 0.. D. 4..,$B\Box~8/9~f(x)=(x^2-3)^2.$ Giá trị cực đại của hàm số $f^\prime(x)$ bằng,A. -8.  $B.~\frac12..$ C. 8.. D. 9.,Câu 38. Đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2-9x+1$ có hai cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng,AB ?,$A.~M(0;-1)..$ $B.~N(1;-10)...$ $C.~P(1;0)...$ $D.~Q(-1;10).$,Câu 39. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng $d:y=(2m-1)x+3+m$ vuông góc với đường thẳng,đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1.$,$A.~m=-\frac12..$ $B.~m=\frac32..$ $C.~m=\frac14..$ $D.~m=\frac34..$,Câu 40. Cho hàm số $y=-x^4+2x^2+3.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?,A. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.,B. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.,C. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.,D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.,Câu 41. Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^4-2x^2+3$,$A.~S=\frac12..$ $B.~S=1.$ $C.~S=2.$ $D.~S=4.$,Câu 42. Hàm số $y=x^5+2x^3-1$ có bao nhiêu điểm cực trị?,A. 0.. B. 2.. C. 3.. D. 4..,Câu 43. Hàm số $y=\sqrt[3]{x^2}$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?,A. 0.. B. 1.. C. 2.. D. 3..,Câu 44. Hàm số $y=|x|^3-3x+1$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?,A. 0.. B. 1.. C. 2.. D. 3..,Câu 45. Hàm số $y=|x^4-4x^2-1|$ có bao nhiêu điểm cực trị?,A. 1.. B. 2.. C. 3.. D. 5..,Câu 46. Giá trị cực đại của hàm số $y=x+2\cos x$ trên khoảng $(0;\pi)$ bằng,$A.~\frac{5\pi}6+\sqrt3..$ $B.~\frac{5\pi}6-\sqrt3..$ $C.~\frac\pi6+\sqrt3..$ $D.~\frac\pi6-\sqrt3..$,Câu 47. Biết rằng trên khoảng $(0;2\pi)$ hàm số $y=a\sin x+b\cos x+x$ đạt cực trị tại $x=\frac\pi3$ và $x=\pi$ Tổng,a+b bằng,A. 3.. $B.~\frac{\sqrt3}3+1..$ $C.~\sqrt3+1...$ $D.~\sqrt3-1.$,Câu 48. Hàm số $y=(x^2-4)^2(1-2x)^3$ có bao nhiêu điểm cực trị?,A. 1.. B. 3.. C. 4.. D. 6.,Câu 49. Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số $y=x^3-3mx^2+6mx+m$ có hai điểm cực trị là,$A.~(0;2)..$ $B.~(-\infty;0)\cup(2;+\infty)...$ $C.~(0;8)..$ $D.~(-\infty;0)\cup(8;+\infty).$,Câu 50. Biết rằng hàm số $y=(x+a)^3+(x+b)^3-x^3$ có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?,$A.~ab>0..$ $B.~ab<0.$ $C.~ab\geq0.$ $D.~ab\leq0.$

Accepted Answer

Câu 36: Để tìm giá trị cực đại của hàm số $ y = x^3 - 3x + 2 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ 3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1 $$ 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của đạo hàm hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai: $$ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x $$ - Tại $ x = 1 $: $$ y''(1) = 6 \cdot 1 = 6 > 0 \quad \text{(hàm số có điểm cực tiểu)} $$ - Tại $ x = -1 $: $$ y''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0 \quad \text{(hàm số có điểm cực đại)} $$ 4. Tính giá trị của hàm số tại $ x = -1 $: $$ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 $$ Do đó, giá trị cực đại của hàm số $ y = x^3 - 3x + 2 $ là 4. Tiếp theo, để tìm giá trị cực đại của hàm số $ f'(x) $ với $ f(x) = (x^2 - 3)^2 $: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của $ f(x) $: $$ f'(x) = \frac{d}{dx}((x^2 - 3)^2) = 2(x^2 - 3) \cdot 2x = 4x(x^2 - 3) $$ 2. Giải phương trình $ f'(x) = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ 4x(x^2 - 3) = 0 \implies x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 3 = 0 \implies x = \pm \sqrt{3} $$ 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của đạo hàm hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai: $$ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x(x^2 - 3)) = 4(x^2 - 3) + 4x \cdot 2x = 4x^2 - 12 + 8x^2 = 12x^2 - 12 $$ - Tại $ x = 0 $: $$ f''(0) = 12 \cdot 0^2 - 12 = -12 < 0 \quad \text{(hàm số có điểm cực đại)} $$ - Tại $ x = \sqrt{3} $: $$ f''(\sqrt{3}) = 12(\sqrt{3})^2 - 12 = 12 \cdot 3 - 12 = 36 - 12 = 24 > 0 \quad \text{(hàm số có điểm cực tiểu)} $$ - Tại $ x = -\sqrt{3} $: $$ f''(-\sqrt{3}) = 12(-\sqrt{3})^2 - 12 = 12 \cdot 3 - 12 = 36 - 12 = 24 > 0 \quad \text{(hàm số có điểm cực tiểu)} $$ 4. Tính giá trị của $ f'(x) $ tại $ x = 0 $: $$ f'(0) = 4 \cdot 0 \cdot (0^2 - 3) = 0 $$ Do đó, giá trị cực đại của hàm số $ f'(x) $ là 0. Tóm lại, giá trị cực đại của hàm số $ y = x^3 - 3x + 2 $ là 4 và giá trị cực đại của hàm số $ f'(x) $ là 0. Câu 38: Để tìm các điểm cực trị của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 $, trước tiên ta cần tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = 3x^2 - 6x - 9. $$ Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình $ y' = 0 $: $$ 3x^2 - 6x - 9 = 0. $$ Chia cả hai vế cho 3, ta được: $$ x^2 - 2x - 3 = 0. $$ Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, $$ với $ a = 1, b = -2, c = -3 $. Ta có: $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}. $$ Do đó, ta có hai nghiệm: $$ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1. $$ Vậy, các điểm cực trị là $ x = 3 $ và $ x = -1 $. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Với $ x = 3 $: $$ y(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 + 1 = 27 - 27 - 27 + 1 = -26. $$ Vậy điểm cực trị là $ A(3, -26) $. - Với $ x = -1 $: $$ y(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - 9 \cdot (-1) + 1 = -1 - 3 + 9 + 1 = 6. $$ Vậy điểm cực trị là $ B(-1, 6) $. Phương trình đường thẳng $ AB $ đi qua hai điểm $ A(3, -26) $ và $ B(-1, 6) $ có dạng: $$ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1), $$ với $ (x_1, y_1) = (3, -26) $ và $ (x_2, y_2) = (-1, 6) $. Tính hệ số góc: $$ \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - (-26)}{-1 - 3} = \frac{6 + 26}{-4} = \frac{32}{-4} = -8. $$ Vậy phương trình đường thẳng $ AB $ là: $$ y + 26 = -8(x - 3). $$ Rút gọn phương trình: $$ y + 26 = -8x + 24, $$ $$ y = -8x - 2. $$ Bây giờ, ta kiểm tra các điểm $ M(0, -1) $, $ N(1, -10) $, $ P(1, 0) $, $ Q(-1, 10) $ xem điểm nào thuộc đường thẳng $ y = -8x - 2 $. - Với $ M(0, -1) $: $$ y = -8 \cdot 0 - 2 = -2 \neq -1. $$ Vậy $ M $ không thuộc đường thẳng. - Với $ N(1, -10) $: $$ y = -8 \cdot 1 - 2 = -8 - 2 = -10. $$ Vậy $ N $ thuộc đường thẳng. - Với $ P(1, 0) $: $$ y = -8 \cdot 1 - 2 = -8 - 2 = -10 \neq 0. $$ Vậy $ P $ không thuộc đường thẳng. - Với $ Q(-1, 10) $: $$ y = -8 \cdot (-1) - 2 = 8 - 2 = 6 \neq 10. $$ Vậy $ Q $ không thuộc đường thẳng. Kết luận: Điểm $ N(1, -10) $ thuộc đường thẳng $ AB $. Đáp án đúng là $ B. $ Câu 39: Để giải bài toán này, ta cần tìm điều kiện để đường thẳng $d: y = (2m-1)x + 3 + m$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 1$. Bước 1: Tìm tọa độ các điểm cực trị của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 1$. Để tìm các điểm cực trị, ta cần tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = 3x^2 - 6x. $$ Giải phương trình $y' = 0$ để tìm các điểm cực trị: $$ 3x^2 - 6x = 0 $$ $$ 3x(x - 2) = 0. $$ Do đó, $x = 0$ hoặc $x = 2$. Bước 2: Tính tọa độ các điểm cực trị. - Với $x = 0$, ta có $y = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 1 = 1$. Vậy điểm cực trị là $(0, 1)$. - Với $x = 2$, ta có $y = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$. Vậy điểm cực trị là $(2, -3)$. Bước 3: Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $(0, 1)$ và $(2, -3)$. Hệ số góc $k$ của đường thẳng đi qua hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$ được tính bằng: $$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 1}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2. $$ Bước 4: Tìm điều kiện để hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng $d: y = (2m-1)x + 3 + m$ có hệ số góc là $2m - 1$. Hai đường thẳng vuông góc khi tích hệ số góc của chúng bằng $-1$: $$ (2m - 1) \cdot (-2) = -1. $$ Giải phương trình: $$ -2(2m - 1) = -1 $$ $$ -4m + 2 = -1 $$ $$ -4m = -3 $$ $$ m = \frac{3}{4}. $$ Vậy giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d$ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $\frac{3}{4}$. Đáp án: D. $m = \frac{3}{4}$. Câu 40: Để tìm các điểm cực trị của hàm số $ y = -x^4 + 2x^2 + 3 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 3) = -4x^3 + 4x $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm nghi ngờ là điểm cực trị: $$ -4x^3 + 4x = 0 $$ $$ -4x(x^2 - 1) = 0 $$ $$ -4x(x - 1)(x + 1) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 $$ 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: $$ y'' = \frac{d}{dx}(-4x^3 + 4x) = -12x^2 + 4 $$ 4. Xác định tính chất của các điểm nghi ngờ bằng cách thay các giá trị $ x $ vào đạo hàm bậc hai: - Tại $ x = 0 $: $$ y''(0) = -12(0)^2 + 4 = 4 > 0 $$ Do đó, tại $ x = 0 $, hàm số có điểm cực tiểu. - Tại $ x = 1 $: $$ y''(1) = -12(1)^2 + 4 = -12 + 4 = -8 < 0 $$ Do đó, tại $ x = 1 $, hàm số có điểm cực đại. - Tại $ x = -1 $: $$ y''(-1) = -12(-1)^2 + 4 = -12 + 4 = -8 < 0 $$ Do đó, tại $ x = -1 $, hàm số có điểm cực đại. 5. Kết luận: Hàm số $ y = -x^4 + 2x^2 + 3 $ có 1 điểm cực tiểu tại $ x = 0 $ và 2 điểm cực đại tại $ x = 1 $ và $ x = -1 $. Do đó, đáp án đúng là: $$ \boxed{\text{D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.}} $$ Câu 41: Để tính diện tích của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $ y = x^4 - 2x^2 + 3 $, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 3) = 4x^3 - 4x. $$ Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình $ y' = 0 $: $$ 4x^3 - 4x = 0 $$ $$ 4x(x^2 - 1) = 0 $$ $$ 4x(x - 1)(x + 1) = 0. $$ Từ đó, ta có các nghiệm: $$ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1. $$ Bước 2: Tính tọa độ các điểm cực trị Thay các giá trị $ x $ vào hàm số để tìm tọa độ các điểm cực trị: - Với $ x = 0 $: $$ y = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 3 = 3. $$ Tọa độ điểm cực trị là $ (0, 3) $. - Với $ x = 1 $: $$ y = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2. $$ Tọa độ điểm cực trị là $ (1, 2) $. - Với $ x = -1 $: $$ y = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2. $$ Tọa độ điểm cực trị là $ (-1, 2) $. Bước 3: Tính diện tích tam giác Ba điểm cực trị là $ A(0, 3) $, $ B(1, 2) $, $ C(-1, 2) $. Diện tích tam giác $ ABC $ được tính bằng công thức: $$ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|, $$ với $ A(x_1, y_1) = (0, 3) $, $ B(x_2, y_2) = (1, 2) $, $ C(x_3, y_3) = (-1, 2) $. Thay vào công thức: $$ S = \frac{1}{2} \left| 0(2 - 2) + 1(2 - 3) + (-1)(3 - 2) \right| $$ $$ = \frac{1}{2} \left| 0 + 1(-1) + (-1)(1) \right| $$ $$ = \frac{1}{2} \left| -1 - 1 \right| $$ $$ = \frac{1}{2} \times 2 = 1. $$ Vậy, diện tích của tam giác là $ S = 1 $. Đáp án đúng là B. $ S = 1. $ Câu 42: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ y = x^5 + 2x^3 - 1 $, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^5 + 2x^3 - 1) = 5x^4 + 6x^2 $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ 5x^4 + 6x^2 = 0 $$ Ta có thể nhân chung $ x^2 $: $$ x^2(5x^2 + 6) = 0 $$ Từ đây suy ra: $$ x^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 5x^2 + 6 = 0 $$ Giải tiếp: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 5x^2 = -6 \quad (\text{vô nghiệm vì } x^2 \geq 0) $$ Vậy, phương trình $ y' = 0 $ có nghiệm duy nhất là $ x = 0 $. 3. Xác định tính chất của điểm tới hạn $ x = 0 $: Để xác định $ x = 0 $ có phải là điểm cực trị hay không, ta xét dấu của $ y' $ trước và sau $ x = 0 $. - Khi $ x < 0 $, $ x^2 > 0 $ nên $ 5x^4 + 6x^2 > 0 $. Do đó, $ y' > 0 $. - Khi $ x > 0 $, $ x^2 > 0 $ nên $ 5x^4 + 6x^2 > 0 $. Do đó, $ y' > 0 $. Vì $ y' $ không đổi dấu tại $ x = 0 $, nên $ x = 0 $ không phải là điểm cực trị. 4. Kết luận: Hàm số $ y = x^5 + 2x^3 - 1 $ không có điểm cực trị. Đáp án: A. 0 Câu 43: Để tìm các điểm cực trị của hàm số $ y = \sqrt[3]{x^2} $, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số $ y = \sqrt[3]{x^2} $ có thể viết lại dưới dạng $ y = x^{2/3} $. Đạo hàm của $ y $ theo $ x $ là: $$ y' = \frac{d}{dx} \left( x^{2/3} \right) = \frac{2}{3} x^{-1/3} $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ \frac{2}{3} x^{-1/3} = 0 $$ Phương trình này không có nghiệm vì $ x^{-1/3} \neq 0 $ với mọi $ x \neq 0 $. 3. Kiểm tra đạo hàm tại $ x = 0 $: Tại $ x = 0 $, đạo hàm $ y' $ không tồn tại vì $ x^{-1/3} $ không xác định tại $ x = 0 $. 4. Xác định tính chất của hàm số quanh $ x = 0 $: - Khi $ x > 0 $, $ y' = \frac{2}{3} x^{-1/3} > 0 $ (hàm số tăng). - Khi $ x < 0 $, $ y' = \frac{2}{3} x^{-1/3} < 0 $ (hàm số giảm). Do đó, tại $ x = 0 $, hàm số chuyển từ giảm sang tăng, tức là có một điểm cực tiểu. 5. Kết luận: Hàm số $ y = \sqrt[3]{x^2} $ có đúng 1 điểm cực trị tại $ x = 0 $. Vậy đáp án là: B. 1. Câu 44: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ y = |x|^3 - 3x + 1 $, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định đạo hàm của hàm số: Hàm số $ y = |x|^3 - 3x + 1 $ có thể được viết lại thành hai trường hợp: - Khi $ x \geq 0 $: $ y = x^3 - 3x + 1 $ - Khi $ x < 0 $: $ y = (-x)^3 - 3x + 1 = -x^3 - 3x + 1 $ 2. Tìm đạo hàm của mỗi trường hợp: - Khi $ x \geq 0 $: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 1) = 3x^2 - 3 $$ - Khi $ x < 0 $: $$ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 - 3x + 1) = -3x^2 - 3 $$ 3. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm dừng: - Khi $ x \geq 0 $: $$ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \quad (\text{vì } x \geq 0) $$ - Khi $ x < 0 $: $$ -3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = -1 \quad (\text{không có nghiệm thực}) $$ 4. Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại $ x = 0 $: - Khi $ x = 0 $: $$ y' = 3(0)^2 - 3 = -3 \quad (\text{vì } x \geq 0) $$ $$ y' = -3(0)^2 - 3 = -3 \quad (\text{vì } x < 0) $$ - Đạo hàm liên tục tại $ x = 0 $. 5. Xác định các điểm cực trị: - Điểm dừng duy nhất là $ x = 1 $. - Kiểm tra dấu của đạo hàm trước và sau $ x = 1 $: - Khi $ x $ gần 1 từ bên trái: $ y' = 3x^2 - 3 $ sẽ âm. - Khi $ x $ gần 1 từ bên phải: $ y' = 3x^2 - 3 $ sẽ dương. - Do đó, $ x = 1 $ là điểm cực tiểu. 6. Kết luận: Hàm số $ y = |x|^3 - 3x + 1 $ có 1 điểm cực trị. Đáp án: B. 1 Câu 45: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ y = |x^4 - 4x^2 - 1| $, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xét hàm số $ f(x) = x^4 - 4x^2 - 1 $. 2. Tìm đạo hàm của $ f(x) $: $$ f'(x) = 4x^3 - 8x $$ 3. Giải phương trình $ f'(x) = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ 4x^3 - 8x = 0 $$ $$ 4x(x^2 - 2) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2} $$ 4. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của $ f'(x) $ hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai: $$ f''(x) = 12x^2 - 8 $$ - Tại $ x = 0 $: $$ f''(0) = 12(0)^2 - 8 = -8 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{điểm cực đại} $$ - Tại $ x = \sqrt{2} $: $$ f''(\sqrt{2}) = 12(\sqrt{2})^2 - 8 = 12 \cdot 2 - 8 = 24 - 8 = 16 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{điểm cực tiểu} $$ - Tại $ x = -\sqrt{2} $: $$ f''(-\sqrt{2}) = 12(-\sqrt{2})^2 - 8 = 12 \cdot 2 - 8 = 24 - 8 = 16 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{điểm cực tiểu} $$ 5. Hàm số $ y = |f(x)| $ sẽ có thêm các điểm cực trị tại nơi $ f(x) = 0 $. Ta cần kiểm tra nếu $ f(x) $ đổi dấu qua các điểm này. 6. Giải phương trình $ f(x) = 0 $: $$ x^4 - 4x^2 - 1 = 0 $$ Đặt $ t = x^2 $, ta có: $$ t^2 - 4t - 1 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai: $$ t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5} $$ Vì $ t = x^2 \geq 0 $, nên: $$ t = 2 + \sqrt{5} \quad \text{(vì $ 2 - \sqrt{5} < 0 $)} $$ Do đó: $$ x^2 = 2 + \sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2 + \sqrt{5}} $$ 7. Kiểm tra nếu $ f(x) $ đổi dấu qua các điểm $ x = \pm \sqrt{2 + \sqrt{5}} $. Ta thấy rằng $ f(x) $ đổi dấu qua các điểm này, do đó $ y = |f(x)| $ sẽ có thêm 2 điểm cực trị tại $ x = \pm \sqrt{2 + \sqrt{5}} $. Tóm lại, hàm số $ y = |x^4 - 4x^2 - 1| $ có 5 điểm cực trị. Đáp án: D. 5. Câu 46: Để tìm giá trị cực đại của hàm số $ y = x + 2\cos x $ trên khoảng $ (0; \pi) $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x + 2\cos x) = 1 - 2\sin x $$ 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn: $$ 1 - 2\sin x = 0 \implies 2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2} $$ Trên khoảng $ (0; \pi) $, các giá trị của $ x $ thỏa mãn $ \sin x = \frac{1}{2} $ là: $$ x = \frac{\pi}{6} \quad \text{và} \quad x = \frac{5\pi}{6} $$ 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm: - Xét khoảng $ (0; \frac{\pi}{6}) $: $$ \sin x < \frac{1}{2} \implies 1 - 2\sin x > 0 \implies y' > 0 $$ - Xét khoảng $ (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) $: $$ \sin x > \frac{1}{2} \implies 1 - 2\sin x < 0 \implies y' < 0 $$ - Xét khoảng $ (\frac{5\pi}{6}; \pi) $: $$ \sin x < \frac{1}{2} \implies 1 - 2\sin x > 0 \implies y' > 0 $$ Từ đó, ta thấy rằng tại $ x = \frac{\pi}{6} $, đạo hàm đổi từ dương sang âm, tức là hàm số đạt cực đại tại $ x = \frac{\pi}{6} $. 4. Tính giá trị của hàm số tại $ x = \frac{\pi}{6} $: $$ y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} + 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} $$ Vậy giá trị cực đại của hàm số $ y = x + 2\cos x $ trên khoảng $ (0; \pi) $ là: $$ \boxed{\frac{\pi}{6} + \sqrt{3}} $$ Câu 47: Để giải bài toán này, ta cần tìm tổng $a + b$ sao cho hàm số $y = a\sin x + b\cos x + x$ đạt cực trị tại $x = \frac{\pi}{3}$ và $x = \pi$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Đạo hàm của hàm số $y = a\sin x + b\cos x + x$ là: $$ y' = a\cos x - b\sin x + 1 $$ Bước 2: Điều kiện để hàm số đạt cực trị Hàm số đạt cực trị tại $x = \frac{\pi}{3}$ và $x = \pi$ khi: $$ y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0 \quad \text{và} \quad y'(\pi) = 0 $$ Bước 3: Tính $y'\left(\frac{\pi}{3}\right)$ và $y'(\pi)$ - Tại $x = \frac{\pi}{3}$: $$ y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = a\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - b\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + 1 = a\cdot\frac{1}{2} - b\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 0 $$ Suy ra: $$ \frac{a}{2} - \frac{b\sqrt{3}}{2} + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a - b\sqrt{3} = -2 $$ - Tại $x = \pi$: $$ y'(\pi) = a\cos(\pi) - b\sin(\pi) + 1 = -a + 1 = 0 $$ Suy ra: $$ -a + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 1 $$ Bước 4: Giải hệ phương trình Từ $a = 1$, thay vào phương trình $a - b\sqrt{3} = -2$: $$ 1 - b\sqrt{3} = -2 \quad \Rightarrow \quad b\sqrt{3} = 3 \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{3} $$ Bước 5: Tính tổng $a + b$ Tổng $a + b$ là: $$ a + b = 1 + \sqrt{3} $$ Vậy đáp án đúng là $C.~\sqrt{3} + 1$. Câu 48: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ y = (x^2 - 4)^2 (1 - 2x)^3 $, chúng ta cần tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số và xét dấu của đạo hàm này. Bước 1: Tìm đạo hàm $ y' $. Hàm số $ y = (x^2 - 4)^2 (1 - 2x)^3 $ là tích của hai hàm số $ u(x) = (x^2 - 4)^2 $ và $ v(x) = (1 - 2x)^3 $. Chúng ta sẽ sử dụng quy tắc nhân để tìm đạo hàm. Đạo hàm của $ u(x) = (x^2 - 4)^2 $: $$ u'(x) = 2(x^2 - 4) \cdot 2x = 4x(x^2 - 4) $$ Đạo hàm của $ v(x) = (1 - 2x)^3 $: $$ v'(x) = 3(1 - 2x)^2 \cdot (-2) = -6(1 - 2x)^2 $$ Áp dụng quy tắc nhân: $$ y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$ $$ y' = 4x(x^2 - 4)(1 - 2x)^3 + (x^2 - 4)^2(-6)(1 - 2x)^2 $$ Bước 2: Đặt $ y' = 0 $ để tìm các điểm dừng. $$ 4x(x^2 - 4)(1 - 2x)^3 + (x^2 - 4)^2(-6)(1 - 2x)^2 = 0 $$ Chúng ta có thể phân tích đa thức này thành các nhân tử: $$ 4x(x^2 - 4)(1 - 2x)^3 - 6(x^2 - 4)^2(1 - 2x)^2 = 0 $$ Chúng ta có thể rút gọn: $$ 2(x^2 - 4)(1 - 2x)^2 [2x(1 - 2x) - 3(x^2 - 4)] = 0 $$ Giải phương trình: $$ 2(x^2 - 4)(1 - 2x)^2 [2x - 4x^2 - 3x^2 + 12] = 0 $$ $$ 2(x^2 - 4)(1 - 2x)^2 [-7x^2 + 2x + 12] = 0 $$ Các nghiệm của phương trình: $$ x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 $$ $$ 1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} $$ $$ -7x^2 + 2x + 12 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai: $$ -7x^2 + 2x + 12 = 0 $$ $$ \Delta = 2^2 - 4(-7)(12) = 4 + 336 = 340 $$ $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{340}}{-14} $$ $$ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{85}}{-14} $$ $$ x = \frac{1 \pm \sqrt{85}}{7} $$ Bước 3: Xét dấu của $ y' $ để tìm các điểm cực trị. Các điểm dừng là: $$ x = -2, \quad x = 2, \quad x = \frac{1}{2}, \quad x = \frac{1 + \sqrt{85}}{7}, \quad x = \frac{1 - \sqrt{85}}{7} $$ Chúng ta cần kiểm tra dấu của $ y' $ trong các khoảng: $$ (-\infty, -2), \quad (-2, \frac{1 - \sqrt{85}}{7}), \quad (\frac{1 - \sqrt{85}}{7}, \frac{1}{2}), \quad (\frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{85}}{7}), \quad (\frac{1 + \sqrt{85}}{7}, 2), \quad (2, \infty) $$ Sau khi kiểm tra dấu của $ y' $ trong các khoảng trên, chúng ta thấy rằng hàm số có 6 điểm cực trị. Đáp án: D. 6. Câu 49: Để tìm tập hợp các giá trị của tham số $ m $ sao cho hàm số $ y = x^3 - 3mx^2 + 6mx + m $ có hai điểm cực trị, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3mx^2 + 6mx + m) = 3x^2 - 6mx + 6m $$ 2. Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm tới hạn: $$ 3x^2 - 6mx + 6m = 0 $$ Chia cả hai vế cho 3: $$ x^2 - 2mx + 2m = 0 $$ 3. Giải phương trình bậc hai $ x^2 - 2mx + 2m = 0 $: Để phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt, biệt thức $ \Delta $ phải dương: $$ \Delta = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2m = 4m^2 - 8m $$ Yêu cầu $ \Delta > 0 $: $$ 4m^2 - 8m > 0 $$ Chia cả hai vế cho 4: $$ m^2 - 2m > 0 $$ Giải bất phương trình: $$ m(m - 2) > 0 $$ 4. Xác định khoảng giá trị của $ m $: Bất phương trình $ m(m - 2) > 0 $ có nghiệm khi: $$ m < 0 \quad \text{hoặc} \quad m > 2 $$ Do đó, tập hợp các giá trị của tham số $ m $ để hàm số $ y = x^3 - 3mx^2 + 6mx + m $ có hai điểm cực trị là: $$ m \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty) $$ Vậy đáp án đúng là: $$ \boxed{B.~(-\infty;0)\cup(2;+\infty)} $$ Câu 50: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số $ y = (x + a)^3 + (x + b)^3 - x^3 $. 2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm cực trị. 3. Xác định điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị. 4. Kết luận về dấu của $ ab $. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là: $$ y = (x + a)^3 + (x + b)^3 - x^3 $$ Đạo hàm của $ y $ theo $ x $ là: $$ y' = 3(x + a)^2 + 3(x + b)^2 - 3x^2 $$ Bước 2: Giải phương trình $ y' = 0 $ Ta có: $$ y' = 3(x + a)^2 + 3(x + b)^2 - 3x^2 = 0 $$ $$ (x + a)^2 + (x + b)^2 - x^2 = 0 $$ $$ (x^2 + 2ax + a^2) + (x^2 + 2bx + b^2) - x^2 = 0 $$ $$ x^2 + 2ax + a^2 + x^2 + 2bx + b^2 - x^2 = 0 $$ $$ x^2 + 2(a + b)x + (a^2 + b^2) = 0 $$ Bước 3: Xác định điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị Phương trình bậc hai $ x^2 + 2(a + b)x + (a^2 + b^2) = 0 $ có hai nghiệm thực nếu và chỉ nếu biệt thức $ \Delta > 0 $. Tính biệt thức $ \Delta $: $$ \Delta = [2(a + b)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + b^2) $$ $$ \Delta = 4(a + b)^2 - 4(a^2 + b^2) $$ $$ \Delta = 4(a^2 + 2ab + b^2) - 4(a^2 + b^2) $$ $$ \Delta = 4a^2 + 8ab + 4b^2 - 4a^2 - 4b^2 $$ $$ \Delta = 8ab $$ Để phương trình có hai nghiệm thực, ta cần: $$ \Delta > 0 $$ $$ 8ab > 0 $$ $$ ab > 0 $$ Bước 4: Kết luận Do đó, hàm số $ y = (x + a)^3 + (x + b)^3 - x^3 $ có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $ ab > 0 $. Vậy đáp án đúng là: $$ \boxed{A.~ab > 0} $$