Tìm hệ số a,b thoả mãn :
a) $x^4+ax+b$ chia hết cho $x^2-4$
b) $x^4+ax^3+bx-1$ chia hết cho $x^2-1$

Question

Accepted Answer

a) Đặt đa thức $ P(x) = x^4 + ax + b $.

Để $ P(x) $ chia hết cho $ x^2 - 4 $, ta cần $ P(2) = 0 $ và $ P(-2) = 0 $.

Ta có:
$$ P(2) = 2^4 + 2a + b = 16 + 2a + b = 0 $$
$$ P(-2) = (-2)^4 + (-2)a + b = 16 - 2a + b = 0 $$

Giải hệ phương trình:
$$ 16 + 2a + b = 0 $$
$$ 16 - 2a + b = 0 $$

Trừ hai phương trình trên:
$$ (16 + 2a + b) - (16 - 2a + b) = 0 $$
$$ 4a = 0 $$
$$ a = 0 $$

Thay $ a = 0 $ vào phương trình $ 16 + 2a + b = 0 $:
$$ 16 + 0 + b = 0 $$
$$ b = -16 $$

Vậy $ a = 0 $ và $ b = -16 $.

b) Đặt đa thức $ Q(x) = x^4 + ax^3 + bx - 1 $.

Để $ Q(x) $ chia hết cho $ x^2 - 1 $, ta cần $ Q(1) = 0 $ và $ Q(-1) = 0 $.

Ta có:
$$ Q(1) = 1^4 + a \cdot 1^3 + b \cdot 1 - 1 = 1 + a + b - 1 = a + b = 0 $$
$$ Q(-1) = (-1)^4 + a \cdot (-1)^3 + b \cdot (-1) - 1 = 1 - a - b - 1 = -a - b = 0 $$

Giải hệ phương trình:
$$ a + b = 0 $$
$$ -a - b = 0 $$

Cộng hai phương trình trên:
$$ (a + b) + (-a - b) = 0 $$
$$ 0 = 0 $$

Hai phương trình này đều đúng, do đó $ a + b = 0 $ và $ -a - b = 0 $ là tương đương. Ta chọn $ a = 1 $ và $ b = -1 $ để thỏa mãn điều kiện.

Vậy $ a = 1 $ và $ b = -1 $.

Tìm hệ số a,b thoả mãn : a) chia hết cho b) chia hết cho