giúp tôi với Bài tập,Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế :,12. $a)\left\{\begin{array}{l}x-y=3\3x-4y=2\end{array}\right.;$ $b)\left\{\begin{array}{l}7x-3y=5\4x+y=2\end{array}\right.;$ $c)\left\{\begin{array}{l}x+3y=-2\5x-4y=11\end{array}\right..$,13. $a)\left\{\begin{array}{l}3x-2y=11\4x-5y=3\end{array}\right.;$ $b)\left\{\begin{array}{l}\frac x2-\frac y3=1\5x-8y=3\end{array}\right.$,14. $a)\left\{\begin{array}{l}x+y\sqrt5=0\x\sqrt5+3y=1-\sqrt5\end{array}\right.;$ $b)\left\{\begin{array}{l}(2-\sqrt3)x-3y=2+5\sqrt3\4x+y=4-2\sqrt3\end{array}\right.$,Luyện tập,15. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+3y=1\(a^2+1)x+6y=2a\end{array}\right.$ trong mỗi trường hợp sau,$a)~a=-1;$ $b)~a=0;$ $c)~a=1$

Question

Accepted Answer

12. 
a) Từ phương trình đầu tiên, ta có $x = y + 3$. Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
$$ 3(y + 3) - 4y = 2 $$
$$ 3y + 9 - 4y = 2 $$
$$ -y + 9 = 2 $$
$$ -y = 2 - 9 $$
$$ -y = -7 $$
$$ y = 7 $$

Thay $y = 7$ vào $x = y + 3$, ta được:
$$ x = 7 + 3 $$
$$ x = 10 $$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (10, 7)$.

b) Từ phương trình thứ hai, ta có $y = 2 - 4x$. Thay vào phương trình đầu tiên, ta được:
$$ 7x - 3(2 - 4x) = 5 $$
$$ 7x - 6 + 12x = 5 $$
$$ 19x - 6 = 5 $$
$$ 19x = 5 + 6 $$
$$ 19x = 11 $$
$$ x = \frac{11}{19} $$

Thay $x = \frac{11}{19}$ vào $y = 2 - 4x$, ta được:
$$ y = 2 - 4 \cdot \frac{11}{19} $$
$$ y = 2 - \frac{44}{19} $$
$$ y = \frac{38}{19} - \frac{44}{19} $$
$$ y = \frac{-6}{19} $$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = \left(\frac{11}{19}, \frac{-6}{19}\right)$.

c) Từ phương trình đầu tiên, ta có $x = -2 - 3y$. Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
$$ 5(-2 - 3y) - 4y = 11 $$
$$ -10 - 15y - 4y = 11 $$
$$ -10 - 19y = 11 $$
$$ -19y = 11 + 10 $$
$$ -19y = 21 $$
$$ y = \frac{-21}{19} $$

Thay $y = \frac{-21}{19}$ vào $x = -2 - 3y$, ta được:
$$ x = -2 - 3 \cdot \frac{-21}{19} $$
$$ x = -2 + \frac{63}{19} $$
$$ x = \frac{-38}{19} + \frac{63}{19} $$
$$ x = \frac{25}{19} $$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = \left(\frac{25}{19}, \frac{-21}{19}\right)$.

13. 
a) Từ phương trình đầu tiên, ta có $3x = 11 + 2y$ hoặc $x = \frac{11 + 2y}{3}$. Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
$$ 4 \cdot \frac{11 + 2y}{3} - 5y = 3 $$
$$ \frac{44 + 8y}{3} - 5y = 3 $$
$$ 44 + 8y - 15y = 9 $$
$$ 44 - 7y = 9 $$
$$ -7y = 9 - 44 $$
$$ -7y = -35 $$
$$ y = 5 $$

Thay $y = 5$ vào $x = \frac{11 + 2y}{3}$, ta được:
$$ x = \frac{11 + 2 \cdot 5}{3} $$
$$ x = \frac{11 + 10}{3} $$
$$ x = \frac{21}{3} $$
$$ x = 7 $$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (7, 5)$.

b) Nhân phương trình đầu tiên với 6 để làm mất mẫu số:
$$ 3x - 2y = 6 $$

Từ phương trình này, ta có $3x = 6 + 2y$ hoặc $x = \frac{6 + 2y}{3}$. Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
$$ 5 \cdot \frac{6 + 2y}{3} - 8y = 3 $$
$$ \frac{30 + 10y}{3} - 8y = 3 $$
$$ 30 + 10y - 24y = 9 $$
$$ 30 - 14y = 9 $$
$$ -14y = 9 - 30 $$
$$ -14y = -21 $$
$$ y = \frac{21}{14} $$
$$ y = \frac{3}{2} $$

Thay $y = \frac{3}{2}$ vào $x = \frac{6 + 2y}{3}$, ta được:
$$ x = \frac{6 + 2 \cdot \frac{3}{2}}{3} $$
$$ x = \frac{6 + 3}{3} $$
$$ x = \frac{9}{3} $$
$$ x = 3 $$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = \left(3, \frac{3}{2}\right)$.

14. 
a) Từ phương trình đầu tiên, ta có $x = -y \sqrt{5}$. Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
$$ (-y \sqrt{5}) \sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5} $$
$$ -5y + 3y = 1 - \sqrt{5} $$
$$ -2y = 1 - \sqrt{5} $$
$$ y = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $$

Thay $y = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ vào $x = -y \sqrt{5}$, ta được:
$$ x = - \left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right) \sqrt{5} $$
$$ x = - \frac{5 - \sqrt{5}}{2} $$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = \left(- \frac{5 - \sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)$.

b) Từ phương trình thứ hai, ta có $y = 4 - 2\sqrt{3} - 4x$. Thay vào phương trình đầu tiên, ta được:
$$ (2 - \sqrt{3})x - 3(4 - 2\sqrt{3} - 4x) = 2 + 5\sqrt{3} $$
$$ (2 - \sqrt{3})x - 12 + 6\sqrt{3} + 12x = 2 + 5\sqrt{3} $$
$$ (2 - \sqrt{3} + 12)x - 12 + 6\sqrt{3} = 2 + 5\sqrt{3} $$
$$ (14 - \sqrt{3})x - 12 + 6\sqrt{3} = 2 + 5\sqrt{3} $$
$$ (14 - \sqrt{3})x = 2 + 5\sqrt{3} + 12 - 6\sqrt{3} $$
$$ (14 - \sqrt{3})x = 14 - \sqrt{3} $$
$$ x = 1 $$

Thay $x = 1$ vào $y = 4 - 2\sqrt{3} - 4x$, ta được:
$$ y = 4 - 2\sqrt{3} - 4 \cdot 1 $$
$$ y = 4 - 2\sqrt{3} - 4 $$
$$ y = -2\sqrt{3} $$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (1, -2\sqrt{3})$.

15. 
a) Với $a = -1$, ta có hệ phương trình:
$$ \left\{\begin{array}{l}x + 3y = 1\(1 + 1)x + 6y = 2(-1)\end{array}\right. $$
$$ \left\{\begin{array}{l}x + 3y = 1\2x + 6y = -2\end{array}\right. $$

Nhân phương trình đầu tiên với 2:
$$ \left\{\begin{array}{l}2x + 6y = 2\2x + 6y = -2\end{array}\right. $$

Hai phương trình này mâu thuẫn, nên hệ phương trình vô nghiệm.

b) Với $a = 0$, ta có hệ phương trình:
$$ \left\{\begin{array}{l}x + 3y = 1\(0 + 1)x + 6y = 2 \cdot 0\end{array}\right. $$
$$ \left\{\begin{array}{l}x + 3y = 1\x + 6y = 0\end{array}\right. $$

Từ phương trình thứ hai, ta có $x = -6y$. Thay vào phương trình đầu tiên, ta được:
$$ -6y + 3y = 1 $$
$$ -3y = 1 $$
$$ y = -\frac{1}{3} $$

Thay $y = -\frac{1}{3}$ vào $x = -6y$, ta được:
$$ x = -6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) $$
$$ x = 2 $$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = \left(2, -\frac{1}{3}\right)$.

c) Với $a = 1$, ta có hệ phương trình:
$$ \left\{\begin{array}{l}x + 3y = 1\(1 + 1)x + 6y = 2 \cdot 1\end{array}\right. $$
$$ \left\{\begin{array}{l}x + 3y = 1\2x + 6y = 2\end{array}\right. $$

Nhân phương trình đầu tiên với 2:
$$ \left\{\begin{array}{l}2x + 6y = 2\2x + 6y = 2\end{array}\right. $$

Hai phương trình này giống nhau, nên hệ phương trình có vô số nghiệm. Ta có thể chọn $y$ tùy ý và tìm $x$ tương ứng từ phương trình đầu tiên:
$$ x = 1 - 3y $$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (1 - 3y, y)$ với $y$ tùy ý.