3.Vật dđ đh pt x = 10cos(2nt - π/3) (cm,s). Tính thời gian ngắn nhất vật đi từ x₁ = 5cm đến x2 = -5 cm:

Question

Accepted Answer

Đề bài: Vật dao động điều hòa với phương trình:  
$$ x = 10 \cos(2\pi t - \frac{\pi}{3}) \; (cm, s) $$  
Tính thời gian ngắn nhất vật đi từ $ x_1 = 5 \, cm $ đến $ x_2 = -5 \, cm $.

---

**Bước 1: Xác định các tham số**

- Biên độ: $ A = 10 \, cm $  
- Phương trình dao động:  
  $$
  x = 10 \cos(2\pi t - \frac{\pi}{3})
  $$

- Tần số góc:  
  $$
  \omega = 2\pi \quad (rad/s)
  $$

---

**Bước 2: Tính các pha tương ứng với $ x_1 = 5 \, cm $ và $ x_2 = -5 \, cm $**

Phương trình dao động:  
$$
x = A \cos(\omega t + \varphi)
$$

Ở đây, pha ban đầu $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.

Ta có:  
$$
x = 10 \cos(2\pi t - \frac{\pi}{3})
$$

Thay $x_1 = 5$ cm:  
$$
5 = 10 \cos(2\pi t_1 - \frac{\pi}{3})
$$
$$
\Rightarrow \cos(2\pi t_1 - \frac{\pi}{3}) = \frac{5}{10} = 0.5
$$

Ta tìm $ 2\pi t_1 - \frac{\pi}{3} = \theta_1 $ sao cho $\cos \theta_1 = 0.5$.

$$
\theta_1 = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

Do vật dao động liên tục nên ta lấy giá trị pha nhỏ nhất (để tính thời gian đi từ $x_1$ tới $x_2$).

Chọn:  
$$
\theta_1 = \frac{\pi}{3}
$$

Vậy:  
$$
2\pi t_1 - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \Rightarrow 2\pi t_1 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}
$$
$$
t_1 = \frac{2\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{3} \, (s)
$$

---

Tương tự với $ x_2 = -5 $ cm:  
$$
-5 = 10 \cos(2\pi t_2 - \frac{\pi}{3})
$$
$$
\Rightarrow \cos(2\pi t_2 - \frac{\pi}{3}) = -0.5
$$

Giải phương trình:  
$$
\cos \theta_2 = -0.5
$$

$$
\Rightarrow \theta_2 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi
$$

Chọn pha nhỏ nhất lớn hơn $\theta_1 = \frac{\pi}{3}$ để vật đi từ $x_1$ đến $x_2$:

$$
\theta_2 = \frac{2\pi}{3}
$$

Ta có:  
$$
2\pi t_2 - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow 2\pi t_2 = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi
$$
$$
t_2 = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2} \, (s)
$$

---

**Bước 3: Tính thời gian ngắn nhất từ $x_1$ đến $x_2$**

$$
\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \, (s)
$$

---

**Kết luận:**

Thời gian ngắn nhất vật đi từ $x_1=5 \, cm$ đến $x_2 = -5 \, cm$ là:  
$$
\boxed{\Delta t = \frac{1}{6} \, s \approx 0,167 \, s}
$$