Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A và B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng của A qua C, I là trung điểm của C...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh: $$ song song với $$. - Gọi $$ là trung điểm của $$. Vì $$ là điểm đối xứng của $$ qua $$, nên $$ là trung điểm của $$. Do đó, $$ trùng với $$. - Ta có $$ là trung điểm của $$ và $$ là trung điểm của $$. - Theo định lý đường trung bình trong tam giác, $$ là đường trung bình của tam giác $$, do đó $$ song song với $$. b) Chứng minh: $$. - Vì $$ song song với $$ (đã chứng minh ở phần a), nên $$. - Tam giác $$ là tam giác vuông tại $$ (do $$ nằm trên nửa đường tròn đường kính $$), nên $$ (góc nội tiếp chắn cung $$). - Do đó, $$. c) Chứng minh: $$ đồng dạng với $$. - Ta có $$ là trung điểm của $$ và $$ là trung điểm của $$. - Xét hai tam giác $$ và $$: - $$ (vì $$ song song với $$ và $$ là đường kính, nên $$). - $$ (vì $$ và $$ là trung điểm của $$ và $$ tương ứng). - Do đó, theo trường hợp góc - góc - cạnh (G-G-C), $$ đồng dạng với $$. d) Xác định vị trí của điểm $$ trên nửa đường tròn $$ để $$ đạt giá trị lớn nhất. - Gọi $$ là tọa độ của $$ trên trục hoành với $$ là gốc tọa độ, $$ có tọa độ $$ (với $$ là bán kính của nửa đường tròn). - Khi đó, $$ là hình chiếu của $$ trên $$, nên $$ có tọa độ $$. - Ta cần tối đa hóa $$. - $$ và $$. - Để tối đa hóa $$, ta cần tối đa hóa $$. - Bằng cách phân tích và thử nghiệm, ta thấy rằng $$ đạt giá trị lớn nhất khi $$ trùng với $$ (tức là $$). Vậy, điểm $$ cần nằm tại vị trí $$ để $$ đạt giá trị lớn nhất.