Cho một chất điểm đang dao động điều hoà với tần số = 2Hz. Trong mỗi chu kỳ dao động, quãng thời gian mà tốc độ chuyển động của vật lớn hơn 4 cm/s là 1/6s. Biên độ dao động của chất điểm là?

Cho bài toán: - Tần số dao động: \( f = 2 \, \text{Hz} \) - Quãng thời gian trong mỗi chu kỳ mà tốc độ chuyển động lớn hơn 4 cm/s là \( \Delta t = \frac{1}{6} \, \text{s} \) - Yêu cầu: Tính biên độ dao động \( A \). --- **Giải:** 1. Chu kỳ dao động là: \[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2} = 0.5 \, \text{s} \] 2. Vận tốc của chất điểm dao động điều hòa được cho bởi: \[ v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \] với \[ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi \, \text{rad/s} \] 3. Tốc độ lớn hơn 4 cm/s tương đương: \[ |v| > 4 \, \text{cm/s} \] 4. Từ công thức vận tốc, ta có: \[ |v| = \omega \sqrt{A^2 - x^2} > 4 \] \[ \Rightarrow \sqrt{A^2 - x^2} > \frac{4}{\omega} = \frac{4}{4\pi} = \frac{1}{\pi} \] \[ \Rightarrow A^2 - x^2 > \frac{1}{\pi^2} \] \[ \Rightarrow x^2 < A^2 - \frac{1}{\pi^2} \] 5. Biểu diễn vị trí dao động điều hòa: \[ x = A \sin \omega t \] Ta cần tìm khoảng thời gian \( t \) trong chu kỳ sao cho: \[ |v| > 4 \Rightarrow |x| < \sqrt{A^2 - \frac{1}{\pi^2}} = x_{\max} \] 6. Thời gian trong một chu kỳ mà \( |x| < x_{\max} \) tương ứng với thời gian \( t \) mà: \[ | \sin \omega t | < \frac{x_{\max}}{A} = \sqrt{1 - \frac{1}{\pi^2 A^2}} \] Đặt: \[ k = \sqrt{1 - \frac{1}{\pi^2 A^2}} \] 7. Trong chu kỳ, thời gian \( | \sin \omega t | < k \) là tổng hai khoảng đối xứng nhau, mỗi khoảng có độ dài: \[ \Delta t_{\text{mỗi nửa chu kỳ}} = 2 \times \frac{1}{\omega} \arcsin k \] Vì một chu kỳ có 2 nửa chu kỳ nên tổng thời gian là: \[ \Delta t = 2 \times 2 \frac{1}{\omega} \arcsin k = \frac{4}{\omega} \arcsin k \] 8. Bài cho biết quãng thời gian tốc độ lớn hơn 4 cm/s là \( \Delta t = \frac{1}{6} \) s, tương đương với thời gian \( |x| < x_{\max} \) do mối quan hệ vận tốc - vị trí. Như vậy: \[ \frac{4}{\omega} \arcsin k = \frac{1}{6} \] \[ \Rightarrow \arcsin k = \frac{\omega}{4} \times \frac{1}{6} = \frac{4\pi}{4} \times \frac{1}{6} = \pi \times \frac{1}{6} = \frac{\pi}{6} \] 9. Từ đó: \[ k = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \] 10. Ta có: \[ k = \sqrt{1 - \frac{1}{\pi^2 A^2}} = \frac{1}{2} \] \[ \Rightarrow 1 - \frac{1}{\pi^2 A^2} = \frac{1}{4} \] \[ \Rightarrow \frac{1}{\pi^2 A^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] \[ \Rightarrow \pi^2 A^2 = \frac{4}{3} \] \[ \Rightarrow A^2 = \frac{4}{3 \pi^2} \] \[ \Rightarrow A = \frac{2}{\pi \sqrt{3}} \approx \frac{2}{3.1416 \times 1.732} \approx \frac{2}{5.441} \approx 0.367 \, \text{cm} \] --- **Kết luận:** Biên độ dao động của chất điểm là khoảng **0,37 cm**.