Cứuuu emmmm

a) Biết $\cot\alpha=-a,~a>0.$ Tính cos Ta có: $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -a$ $\Rightarrow \cos\alpha = -a\sin\alpha$ Sử dụng công thức $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, ta có: $\sin^2\alpha + (-a\sin\alpha)^2 = 1$ $\sin^2\alpha + a^2\sin^2\alpha = 1$ $\sin^2\alpha(1 + a^2) = 1$ $\sin^2\alpha = \frac{1}{1 + a^2}$ $\sin\alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + a^2}}$ Do $\cot\alpha = -a < 0$, suy ra $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ III hoặc IV. Vì vậy, $\sin\alpha$ sẽ âm. $\sin\alpha = -\sqrt{\frac{1}{1 + a^2}}$ Thay vào $\cos\alpha = -a\sin\alpha$, ta có: $\cos\alpha = -a \left(-\sqrt{\frac{1}{1 + a^2}}\right)$ $\cos\alpha = a \sqrt{\frac{1}{1 + a^2}}$ $\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ b) Cho $\cos x = \frac{1}{2}$. Tính giá trị biểu thức $P = 3\sin^2x + 4\cos^2x$ Ta có: $\cos x = \frac{1}{2}$ $\sin^2x = 1 - \cos^2x = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ Thay vào biểu thức $P$: $P = 3\sin^2x + 4\cos^2x$ $P = 3 \cdot \frac{3}{4} + 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2$ $P = \frac{9}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4}$ $P = \frac{9}{4} + 1$ $P = \frac{9}{4} + \frac{4}{4}$ $P = \frac{13}{4}$ c) Cho $\cot\alpha = 5$. Tính giá trị của $P = 2\cos^2\alpha + 5\sin\alpha\cos\alpha + 1$ Ta có: $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 5$ $\Rightarrow \cos\alpha = 5\sin\alpha$ Sử dụng công thức $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, ta có: $\sin^2\alpha + (5\sin\alpha)^2 = 1$ $\sin^2\alpha + 25\sin^2\alpha = 1$ $26\sin^2\alpha = 1$ $\sin^2\alpha = \frac{1}{26}$ $\sin\alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{26}}$ Do $\cot\alpha = 5 > 0$, suy ra $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ I hoặc III. Vì vậy, $\sin\alpha$ sẽ dương. $\sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{26}}$ Thay vào $\cos\alpha = 5\sin\alpha$, ta có: $\cos\alpha = 5 \sqrt{\frac{1}{26}}$ $\cos\alpha = \frac{5}{\sqrt{26}}$ Thay vào biểu thức $P$: $P = 2\cos^2\alpha + 5\sin\alpha\cos\alpha + 1$ $P = 2 \left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 + 5 \left(\sqrt{\frac{1}{26}}\right) \left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right) + 1$ $P = 2 \cdot \frac{25}{26} + 5 \cdot \frac{5}{26} + 1$ $P = \frac{50}{26} + \frac{25}{26} + 1$ $P = \frac{75}{26} + 1$ $P = \frac{75}{26} + \frac{26}{26}$ $P = \frac{101}{26}$ d) Cho $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$. Tính $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$ Ta có: $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$ Bình phương hai vế: $(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2$ $\sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x = \frac{1}{25}$ Sử dụng công thức $\sin^2x + \cos^2x = 1$, ta có: $1 + 2\sin x\cos x = \frac{1}{25}$ $2\sin x\cos x = \frac{1}{25} - 1$ $2\sin x\cos x = \frac{1}{25} - \frac{25}{25}$ $2\sin x\cos x = -\frac{24}{25}$ $\sin x\cos x = -\frac{12}{25}$ Giải hệ phương trình: $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$ $\sin x\cos x = -\frac{12}{25}$ Đặt $u = \sin x$ và $v = \cos x$, ta có: $u + v = \frac{1}{5}$ $uv = -\frac{12}{25}$ Giải hệ phương trình này, ta tìm được: $u = \frac{4}{5}, v = -\frac{3}{5}$ hoặc $u = -\frac{3}{5}, v = \frac{4}{5}$ Vậy: $\sin x = \frac{4}{5}, \cos x = -\frac{3}{5}$ hoặc $\sin x = -\frac{3}{5}, \cos x = \frac{4}{5}$ Tính $\tan x$ và $\cot x$: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$ $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$ Hoặc: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$ $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$ Vậy: $\sin x = \frac{4}{5}, \cos x = -\frac{3}{5}, \tan x = -\frac{4}{3}, \cot x = -\frac{3}{4}$ hoặc $\sin x = -\frac{3}{5}, \cos x = \frac{4}{5}, \tan x = -\frac{3}{4}, \cot x = -\frac{4}{3}$