giải giúp mình

Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ có thể phát biểu dưới dạng điều kiện cần và điều kiện đủ như sau: - Nếu P thì Q (điều kiện đủ): Điều này có nghĩa là nếu P đúng thì Q cũng phải đúng. Nói cách khác, P là điều kiện đủ để Q xảy ra. - Q chỉ khi P (điều kiện cần): Điều này có nghĩa là Q chỉ xảy ra khi P đúng. Nói cách khác, P là điều kiện cần để Q xảy ra. Tóm lại, mệnh đề $P\Rightarrow Q$ có thể phát biểu dưới dạng: - P là điều kiện đủ để Q. - Q là điều kiện cần để P. Ví dụ minh họa: Giả sử P là "x là số chẵn" và Q là "x chia hết cho 2". - Nếu x là số chẵn thì x chia hết cho 2 (điều kiện đủ). - x chia hết cho 2 chỉ khi x là số chẵn (điều kiện cần). Như vậy, mệnh đề "Nếu x là số chẵn thì x chia hết cho 2" có thể phát biểu dưới dạng: - x là số chẵn là điều kiện đủ để x chia hết cho 2. - x chia hết cho 2 là điều kiện cần để x là số chẵn. Ví dụ 9: Để phát biểu định lý "Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ" dưới dạng điều kiện cần và đủ, chúng ta sẽ làm như sau: 1. Phát biểu điều kiện cần: - Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ, thì cả hai số đều phải là số lẻ. - Điều này có nghĩa là: Nếu \(a \times b\) là số lẻ, thì \(a\) và \(b\) đều phải là số lẻ. 2. Phát biểu điều kiện đủ: - Nếu cả hai số tự nhiên đều là số lẻ, thì tích của chúng sẽ là một số lẻ. - Điều này có nghĩa là: Nếu \(a\) và \(b\) đều là số lẻ, thì \(a \times b\) sẽ là số lẻ. Kết hợp cả hai điều kiện trên, chúng ta có thể phát biểu định lý dưới dạng điều kiện cần và đủ như sau: Định lý: Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ nếu và chỉ nếu cả hai số đều là số lẻ. Lập luận từng bước: - Giả sử \(a\) và \(b\) là hai số tự nhiên. - Nếu \(a \times b\) là số lẻ, thì \(a\) và \(b\) đều phải là số lẻ (điều kiện cần). - Ngược lại, nếu \(a\) và \(b\) đều là số lẻ, thì \(a \times b\) sẽ là số lẻ (điều kiện đủ). Do đó, định lý đã được phát biểu đúng đắn dưới dạng điều kiện cần và đủ. Ví dụ 10: Để xác định tính đúng sai của các mệnh đề đã cho, ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề A: "Nếu $\Delta ABC$ đều có cạnh bằng $a$, đường cao là $h$ thì $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$." - Một tam giác đều có cạnh bằng $a$ thì đường cao $h$ được tính bằng công thức $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Do đó, mệnh đề A là đúng. Mệnh đề B: "Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông." - Một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau có thể là hình vuông hoặc hình thoi. Để là hình vuông, ngoài việc có bốn cạnh bằng nhau, các góc trong tứ giác cũng phải là góc vuông. Do đó, mệnh đề B là sai. Mệnh đề C: "15 là số nguyên tố." - Một số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Số 15 có các ước là 1, 3, 5, và 15, nên không phải là số nguyên tố. Do đó, mệnh đề C là sai. Mệnh đề D: "$\sqrt{125}$ là một số nguyên." - Ta có $\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = \sqrt{25} \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$. Vì $\sqrt{5}$ không phải là số nguyên, nên $\sqrt{125}$ cũng không phải là số nguyên. Do đó, mệnh đề D là sai. Bây giờ, ta xét các mệnh đề phức hợp: 1. Mệnh đề $A \Rightarrow B$: "Nếu $\Delta ABC$ đều có cạnh bằng $a$, đường cao là $h$ thì $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$" suy ra "Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông." - Mệnh đề A đúng, nhưng mệnh đề B sai. Do đó, mệnh đề $A \Rightarrow B$ là sai. 2. Mệnh đề $B \Rightarrow C$: "Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông" suy ra "15 là số nguyên tố." - Mệnh đề B sai, và mệnh đề C cũng sai. Tuy nhiên, trong logic, một mệnh đề sai có thể suy ra bất kỳ mệnh đề nào (đúng hoặc sai), nên mệnh đề $B \Rightarrow C$ là đúng. 3. Mệnh đề $A \Rightarrow D$: "Nếu $\Delta ABC$ đều có cạnh bằng $a$, đường cao là $h$ thì $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$" suy ra "$\sqrt{125}$ là một số nguyên." - Mệnh đề A đúng, nhưng mệnh đề D sai. Do đó, mệnh đề $A \Rightarrow D$ là sai. Tóm lại: - Mệnh đề $A \Rightarrow B$ là sai. - Mệnh đề $B \Rightarrow C$ là đúng. - Mệnh đề $A \Rightarrow D$ là sai. Ví dụ 11: Mệnh đề \( P \Leftrightarrow Q \) đọc là "P tương đương Q" hoặc "P nếu và chỉ nếu Q". Mệnh đề này đúng khi cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai. Để xét tính đúng sai của mệnh đề \( P \Leftrightarrow Q \), ta cần kiểm tra hai trường hợp: 1. Nếu P đúng thì Q cũng phải đúng. 2. Nếu Q đúng thì P cũng phải đúng. Giả sử chúng ta có hai mệnh đề cụ thể: - \( P \): Số tự nhiên n chia hết cho 2. - \( Q \): Số tự nhiên n là số chẵn. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề \( P \Leftrightarrow Q \): 1. Nếu \( P \) đúng (số tự nhiên n chia hết cho 2), thì \( Q \) cũng đúng (số tự nhiên n là số chẵn). Điều này là đúng vì theo định nghĩa, một số chia hết cho 2 là số chẵn. 2. Nếu \( Q \) đúng (số tự nhiên n là số chẵn), thì \( P \) cũng đúng (số tự nhiên n chia hết cho 2). Điều này cũng đúng vì theo định nghĩa, một số chẵn là số chia hết cho 2. Vì cả hai trường hợp đều đúng, nên mệnh đề \( P \Leftrightarrow Q \) là đúng. Tóm lại, mệnh đề \( P \Leftrightarrow Q \) là đúng khi cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai.