giải giúp mình

Để viết mệnh đề "Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 3" bằng cách sử dụng ký hiệu, chúng ta cần hiểu rằng "có ít nhất một" tương ứng với ký hiệu tồn tại (\(\exists\)) và "số thực" thuộc tập hợp \(\mathbb{R}\). Mệnh đề này nói rằng tồn tại một số thực \(x\) sao cho \(x^2 = 3\). Do đó, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu \(\exists\) để biểu thị sự tồn tại và \(\mathbb{R}\) để chỉ tập hợp các số thực. Vậy, mệnh đề "Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 3" được viết dưới dạng ký hiệu là: \[ \exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 3 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\exists x\in\mathbb{R},x^2=3. \] Câu 8: Để viết mệnh đề "Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6" dưới dạng ký hiệu, chúng ta cần xem xét các lựa chọn A, B, C, D. A. $\forall n\in\mathbb{N},n(n+1)(n+2)\vdots6.$ Mệnh đề này nói rằng "với mọi số tự nhiên n, tích của ba số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2 chia hết cho 6". Đây là đúng vì trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có ít nhất một số chẵn và một số chia hết cho 3, do đó tích của chúng sẽ chia hết cho 6. B. $\forall n\in\mathbb{R},(n-1)n(n+1)\vdots6.$ Mệnh đề này nói rằng "với mọi số thực n, tích của ba số thực liên tiếp n-1, n, n+1 chia hết cho 6". Điều này không đúng vì n không phải là số tự nhiên và không thể đảm bảo rằng tích của ba số thực liên tiếp sẽ chia hết cho 6. C. $\exists n\in\mathbb{N},n(n+1)(n+2)\vdots6.$ Mệnh đề này nói rằng "tồn tại một số tự nhiên n sao cho tích của ba số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2 chia hết cho 6". Điều này cũng đúng, nhưng nó không đủ mạnh so với mệnh đề A vì nó chỉ khẳng định sự tồn tại chứ không khẳng định tính chất này đúng cho tất cả các số tự nhiên. D. $\exists n\in\mathbb{R},(n-2)(n-1)n\vdots6.$ Mệnh đề này nói rằng "tồn tại một số thực n sao cho tích của ba số thực liên tiếp n-2, n-1, n chia hết cho 6". Điều này không đúng vì n không phải là số tự nhiên và không thể đảm bảo rằng tích của ba số thực liên tiếp sẽ chia hết cho 6. Do đó, đáp án đúng là: $A.~\forall n\in\mathbb{N},n(n+1)(n+2)\vdots6.$ Câu 9: Để viết mệnh đề "Cho hai số thực khác nhau bất kì, luôn tồn tại một số hữu tỉ nằm giữa hai số thực đã cho" bằng cách sử dụng kí hiệu V (với nghĩa "với mọi") và 3 (với nghĩa "tồn tại"), ta sẽ làm như sau: Mệnh đề nói rằng: Với mọi cặp số thực khác nhau \(a\) và \(b\) (với \(a < b\)), luôn tồn tại ít nhất một số hữu tỉ \(r\) sao cho \(a < r < b\). Do đó, chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu \(\forall\) để biểu thị "với mọi" và kí hiệu \(\exists\) để biểu thị "tồn tại". Mệnh đề này có thể được viết dưới dạng: \[ \forall a, b \in \mathbb{R}, a < b, \exists r \in \mathbb{Q} : a < r < b \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\forall a,b\in\mathbb{R},a<b,\exists>0:\frac{a+b}2\geq\sqrt{a.b}. \] Câu 1: Mệnh đề $\forall x\in\mathbb{R}:x^2-4x+3=0$ khẳng định rằng mọi số thực $x$ đều là nghiệm của phương trình $x^2-4x+3=0$. Tuy nhiên, chúng ta biết rằng phương trình này chỉ có hai nghiệm là $x=1$ và $x=3$, do đó không phải mọi số thực $x$ đều là nghiệm của phương trình này. Do đó, mệnh đề $\forall x\in\mathbb{R}:x^2-4x+3=0$ khẳng định rằng có ít nhất một số thực $x$ là nghiệm của phương trình $x^2-4x+3=0$. Đáp án đúng là: B. Có ít nhất một số thực $x$ là nghiệm của phương trình $x^2-4x+3=0$. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định và xem xét tính đúng sai của chúng dựa trên kiến thức đã cho. Khẳng định đề ra là: "$\forall n\in\mathbb{N}:n^2+1$ không chia hết cho 3". Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 3. - Đây là một khẳng định sai vì có nhiều số tự nhiên chia hết cho 3, ví dụ như 3, 6, 9, v.v. B. Có số tự nhiên mà bình phương của nó cộng thêm 1 đều không chia hết cho 3. - Chúng ta cần kiểm tra xem liệu có tồn tại ít nhất một số tự nhiên $n$ sao cho $n^2 + 1$ không chia hết cho 3. - Xét các trường hợp: - Nếu $n \equiv 0 \pmod{3}$, thì $n^2 \equiv 0 \pmod{3}$ và $n^2 + 1 \equiv 1 \pmod{3}$ (không chia hết cho 3). - Nếu $n \equiv 1 \pmod{3}$, thì $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$ và $n^2 + 1 \equiv 2 \pmod{3}$ (không chia hết cho 3). - Nếu $n \equiv 2 \pmod{3}$, thì $n^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$ và $n^2 + 1 \equiv 2 \pmod{3}$ (không chia hết cho 3). Như vậy, trong tất cả các trường hợp, $n^2 + 1$ không chia hết cho 3. Do đó, khẳng định B là đúng. C. Bình phương của mọi số tự nhiên cộng thêm 1 đều không chia hết cho 3. - Đúng, vì chúng ta đã chứng minh ở trên rằng trong tất cả các trường hợp, $n^2 + 1$ không chia hết cho 3. D. Mọi số tự nhiên cộng thêm 1 đều không chia hết cho 3. - Đây là một khẳng định sai vì có nhiều số tự nhiên cộng thêm 1 chia hết cho 3, ví dụ như 2, 5, 8, v.v. Vậy, khẳng định đúng là: C. Bình phương của mọi số tự nhiên cộng thêm 1 đều không chia hết cho 3. Câu 3: Mệnh đề $\exists x\in\mathbb{R}:x > x^2$ có nghĩa là tồn tại ít nhất một số thực $x$ sao cho $x$ lớn hơn $x^2$. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. Có một số thực lớn hơn hoặc bằng bình phương của nó. - Đúng vì nếu $x = 0$, ta có $0 = 0^2$. Nếu $x = 1$, ta có $1 = 1^2$. Tuy nhiên, đây không phải là khẳng định chính xác nhất vì chúng ta đang tìm số thực mà $x > x^2$. B. Có một số thực lớn hơn bình phương của nó. - Đúng vì nếu $x = 0.5$, ta có $0.5 > 0.5^2 = 0.25$. Đây là khẳng định chính xác nhất vì nó trực tiếp mô tả nội dung của mệnh đề. C. Bình phương của một số thực lớn hơn nó. - Sai vì nếu $x = 0.5$, ta có $0.5 > 0.5^2 = 0.25$. Điều này mâu thuẫn với khẳng định này. D. Các số thực đều lớn hơn bình phương của nó. - Sai vì nếu $x = 2$, ta có $2 < 2^2 = 4$. Điều này mâu thuẫn với khẳng định này. Do đó, khẳng định đúng là: B. Có một số thực lớn hơn bình phương của nó. Câu 4: Mệnh đề $\exists x\in\mathbb{Q}:\sqrt{x}=2$ có nghĩa là tồn tại một số hữu tỉ $x$ sao cho căn bậc hai của $x$ bằng 2. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. Có một số hữu tỉ mà căn bậc hai của nó bằng 2. - Đúng. Vì nếu $x = 4$, thì $\sqrt{4} = 2$. Số 4 là một số hữu tỉ. B. Mọi số hữu tỉ đều có căn bậc hai bằng 2. - Sai. Vì không phải mọi số hữu tỉ đều có căn bậc hai bằng 2. Ví dụ, nếu $x = 9$, thì $\sqrt{9} = 3$, không phải 2. C. Có một số hữu tỉ có căn bậc hai. - Đúng, nhưng không chính xác với nội dung của mệnh đề. Mệnh đề nói rõ rằng căn bậc hai của số hữu tỉ đó phải bằng 2, chứ không chỉ là có căn bậc hai. D. Mọi số hữu tỉ đều có căn bậc hai. - Sai. Vì không phải mọi số hữu tỉ đều có căn bậc hai là một số hữu tỉ. Ví dụ, nếu $x = 2$, thì $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ. Vậy khẳng định đúng là: A. Có một số hữu tỉ mà căn bậc hai của nó bằng 2. Câu 5: Mệnh đề cho rằng "Với mọi số tự nhiên \( x \), thì \( x \) cũng là một số hữu tỉ". Chúng ta sẽ kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề này. 1. Số tự nhiên (\( \mathbb{N} \)) là tập hợp các số nguyên dương và số 0, tức là \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \). 2. Số hữu tỉ (\( \mathbb{Q} \)) là tập hợp các số có thể viết dưới dạng phân số \( \frac{p}{q} \), trong đó \( p \) và \( q \) là các số nguyên và \( q \neq 0 \). 3. Mọi số tự nhiên \( x \) đều có thể viết dưới dạng phân số \( \frac{x}{1} \), trong đó \( x \) là số nguyên và \( 1 \) là số nguyên khác 0. Do đó, mọi số tự nhiên đều thuộc tập hợp các số hữu tỉ. Vì vậy, mệnh đề "Với mọi số tự nhiên \( x \), thì \( x \) cũng là một số hữu tỉ" là đúng. Khẳng định đúng là: - Mệnh đề đã cho là đúng.