giải giúp mình

Câu 1: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết: A. \( \forall x \in \mathbb{R}: x^2 > 0 \) - Điều này không đúng vì \( x = 0 \) thì \( x^2 = 0 \), không thỏa mãn \( x^2 > 0 \). B. \( \forall x \in \mathbb{N}: x \vdots 3 \) - Điều này cũng không đúng vì không phải tất cả các số tự nhiên đều chia hết cho 3. Ví dụ, \( x = 1 \) thì \( 1 \) không chia hết cho 3. C. \( \forall x \in \mathbb{R}: -x^2 < 0 \) - Điều này không đúng vì \( x = 0 \) thì \( -x^2 = 0 \), không thỏa mãn \( -x^2 < 0 \). D. \( \exists x \in \mathbb{R}: x > x^2 \) - Điều này đúng. Ví dụ, \( x = \frac{1}{2} \) thì \( x^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \). Ta thấy \( \frac{1}{2} > \frac{1}{4} \). Vậy, mệnh đề đúng là D. Câu 2: Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng mệnh đề một. Mệnh đề A: ``$\exists x\in\mathbb{R}:x^2>0$'' - Mệnh đề này nói rằng tồn tại một số thực \( x \) sao cho \( x^2 > 0 \). - Điều này là đúng vì, ví dụ, nếu lấy \( x = 1 \), thì \( x^2 = 1^2 = 1 > 0 \). Vậy mệnh đề A là đúng. Mệnh đề B: ``$\forall x\in[0;+\infty)\Rightarrow\sqrt{x-1}\geq0$'' - Mệnh đề này nói rằng với mọi \( x \) thuộc khoảng \([0; +\infty)\), thì \(\sqrt{x-1} \geq 0\). - Tuy nhiên, \( x \) phải lớn hơn hoặc bằng 1 để \( x - 1 \geq 0 \) và \(\sqrt{x-1}\) mới có nghĩa. - Nếu \( x \) nằm trong khoảng \([0; 1)\), thì \( x - 1 < 0 \) và \(\sqrt{x-1}\) không có nghĩa. Vậy mệnh đề B là sai. Mệnh đề C: ``$\forall x\in(-\infty;0]:|x|=x$'' - Mệnh đề này nói rằng với mọi \( x \) thuộc khoảng \((-\infty; 0]\), thì \( |x| = x \). - Điều này là sai vì giá trị tuyệt đối của một số âm luôn là số dương, tức là \( |x| = -x \) khi \( x < 0 \). Vậy mệnh đề C là sai. Mệnh đề D: ``$\forall x\in\mathbb{R}:x< \frac{1}{x}$'' - Mệnh đề này nói rằng với mọi \( x \) thuộc tập số thực, thì \( x < \frac{1}{x} \). - Điều này là sai vì, ví dụ, nếu lấy \( x = 1 \), thì \( x = \frac{1}{x} \), không thỏa mãn \( x < \frac{1}{x} \). Vậy mệnh đề D là sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là A. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng mệnh đề P(x) cho các giá trị cụ thể của x. 1. Kiểm tra P(0): - Ta có \( \sqrt{0} = 0 \) và \( 0^2 = 0 \). - Do đó, \( \sqrt{0} = 0 \geq 0 \). - Vậy P(0) đúng. 2. Kiểm tra P(1): - Ta có \( \sqrt{1} = 1 \) và \( 1^2 = 1 \). - Do đó, \( \sqrt{1} = 1 \geq 1 \). - Vậy P(1) đúng. 3. Kiểm tra P(\(\frac{1}{2}\)): - Ta có \( \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \) và \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25 \). - Do đó, \( \sqrt{\frac{1}{2}} \approx 0.707 \geq 0.25 \). - Vậy P(\(\frac{1}{2}\)) đúng. 4. Kiểm tra P(2): - Ta có \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) và \( 2^2 = 4 \). - Do đó, \( \sqrt{2} \approx 1.414 \not\geq 4 \). - Vậy P(2) sai. Từ các bước trên, ta thấy rằng mệnh đề D. P(2) là sai. Đáp án: D. P(2). Câu 4: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để tìm ra mệnh đề sai. Mệnh đề A: ``$\forall x\in\mathbb{R}:x^2>0$'' - Mệnh đề này nói rằng bình phương của mọi số thực đều lớn hơn 0. - Điều này không đúng vì nếu $x = 0$, thì $x^2 = 0$, không lớn hơn 0. - Vậy mệnh đề A là sai. Mệnh đề B: ``$\exists n\in\mathbb{N}:n^2=n$'' - Mệnh đề này nói rằng tồn tại một số tự nhiên $n$ sao cho $n^2 = n$. - Ta thấy $n = 1$ thỏa mãn $1^2 = 1$. - Vậy mệnh đề B là đúng. Mệnh đề C: ``$\forall n\in\mathbb{N}:n\leq2n$'' - Mệnh đề này nói rằng mọi số tự nhiên $n$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $2n$. - Điều này đúng vì $2n$ luôn lớn hơn hoặc bằng $n$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. - Vậy mệnh đề C là đúng. Mệnh đề D: ``$\exists x\in\mathbb{R}:x< \frac{1}{x}$'' - Mệnh đề này nói rằng tồn tại một số thực $x$ sao cho $x < \frac{1}{x}$. - Ta thấy $x = \frac{1}{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{2} < \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$. - Vậy mệnh đề D là đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề A. Câu 5: Để kiểm tra từng mệnh đề, chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp cụ thể: A. ``$\exists x\in\mathbb{Q}:x^2=2$'' Mệnh đề này nói rằng tồn tại một số hữu tỉ $x$ sao cho $x^2 = 2$. Tuy nhiên, đã biết rằng $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ, tức là không thể biểu diễn dưới dạng phân số của hai số nguyên. Do đó, không tồn tại số hữu tỉ $x$ nào thỏa mãn $x^2 = 2$. Vậy mệnh đề A sai. B. ``$\exists x\in\mathbb{R}:x^2-3x+1=0$'' Mệnh đề này nói rằng tồn tại một số thực $x$ sao cho $x^2 - 3x + 1 = 0$. Để kiểm tra điều này, chúng ta giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 3x + 1 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong trường hợp này, $a = 1$, $b = -3$, và $c = 1$. Thay vào công thức, ta có: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \] Do $\sqrt{5}$ là một số thực, nên phương trình có hai nghiệm thực là: \[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \] \[ x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \] Vậy tồn tại số thực $x$ thỏa mãn phương trình $x^2 - 3x + 1 = 0$. Mệnh đề B đúng. C. ``$\forall n\in\mathbb{N}:2n>n$'' Mệnh đề này nói rằng với mọi số tự nhiên $n$, $2n > n$. Điều này rõ ràng là đúng vì $2n$ luôn gấp đôi $n$ và $n$ là số tự nhiên dương. Vậy mệnh đề C đúng. D. ``$\forall x\in\mathbb{R}:x< x-1$'' Mệnh đề này nói rằng với mọi số thực $x$, $x < x - 1$. Điều này rõ ràng là sai vì $x - 1$ luôn nhỏ hơn $x$ một đơn vị. Vậy mệnh đề D sai. Tóm lại, các mệnh đề đúng là B và C. Câu 6: Để kiểm tra từng mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng trường hợp: Mệnh đề A: \[ \forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} : x \cdot y > 0 \] - Nếu \( x = 0 \), thì \( x \cdot y = 0 \) với mọi \( y \in \mathbb{R} \). Do đó, \( x \cdot y > 0 \) không thể xảy ra. - Vậy mệnh đề A sai vì tồn tại \( x = 0 \) mà không có \( y \) nào thỏa mãn \( x \cdot y > 0 \). Mệnh đề B: \[ \forall x \in \mathbb{N} : x \geq -x \] - Với mọi \( x \in \mathbb{N} \), \( x \) luôn là số tự nhiên không âm, tức là \( x \geq 0 \). - Vì \( -x \leq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{N} \), nên \( x \geq -x \) luôn đúng. - Vậy mệnh đề B đúng. Mệnh đề C: \[ \exists x \in \mathbb{N}, \forall y \in \mathbb{N} : x \vdots y \] - Điều này có nghĩa là tồn tại một số tự nhiên \( x \) sao cho \( x \) chia hết cho mọi số tự nhiên \( y \). - Điều này không thể xảy ra vì không có số tự nhiên nào chia hết cho tất cả các số tự nhiên khác. - Vậy mệnh đề C sai. Mệnh đề D: \[ \exists x \in \mathbb{N} : x^2 + 4x + 3 = 0 \] - Giải phương trình \( x^2 + 4x + 3 = 0 \): \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \] \[ (x + 1)(x + 3) = 0 \] \[ x + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 3 = 0 \] \[ x = -1 \quad \text{hoặc} \quad x = -3 \] - Các nghiệm \( x = -1 \) và \( x = -3 \) đều không thuộc tập hợp số tự nhiên \( \mathbb{N} \). - Vậy mệnh đề D sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là: \[ \boxed{B} \] Câu 7: Để tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề A: ``$\exists x \in \mathbb{Q}: 4x^2 - 1 = 0$'' Ta giải phương trình: \[ 4x^2 - 1 = 0 \] \[ 4x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{1}{4} \] \[ x = \pm \frac{1}{2} \] Cả hai giá trị \( x = \frac{1}{2} \) và \( x = -\frac{1}{2} \) đều thuộc tập hợp số hữu tỉ \(\mathbb{Q}\). Do đó, mệnh đề A đúng. Mệnh đề B: ``$\exists x \in \mathbb{R}: x > x^2$'' Ta xét bất phương trình: \[ x > x^2 \] \[ x^2 - x < 0 \] \[ x(x - 1) < 0 \] Bất phương trình này đúng khi \( 0 < x < 1 \). Có nhiều giá trị thực \( x \) trong khoảng này, ví dụ \( x = \frac{1}{2} \). Do đó, mệnh đề B đúng. Mệnh đề C: ``$\forall n \in \mathbb{N}: n^2 + 1$ không chia hết cho 3'' Ta kiểm tra các trường hợp \( n \mod 3 \): - Nếu \( n \equiv 0 \pmod{3} \): \[ n^2 + 1 \equiv 0^2 + 1 \equiv 1 \pmod{3} \] (không chia hết cho 3) - Nếu \( n \equiv 1 \pmod{3} \): \[ n^2 + 1 \equiv 1^2 + 1 \equiv 2 \pmod{3} \] (không chia hết cho 3) - Nếu \( n \equiv 2 \pmod{3} \): \[ n^2 + 1 \equiv 2^2 + 1 \equiv 4 + 1 \equiv 5 \equiv 2 \pmod{3} \] (không chia hết cho 3) Do đó, \( n^2 + 1 \) không bao giờ chia hết cho 3. Mệnh đề C đúng. Mệnh đề D: ``$\forall n \in \mathbb{N}: n^2 > n$'' Ta kiểm tra các trường hợp: - Nếu \( n = 1 \): \[ 1^2 = 1 \] (không thỏa mãn \( n^2 > n \)) Do đó, mệnh đề D sai. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề D. Câu 8: Để xác định mệnh đề nào sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Mệnh đề A: $\forall n \in \mathbb{N}: n^2 \vdots 2 \Rightarrow n \vdots 2$ - Giả sử $n^2$ chia hết cho 2, tức là $n^2$ là số chẵn. - Nếu $n$ là số lẻ, thì $n^2$ cũng là số lẻ (vì bình phương của số lẻ là số lẻ). - Do đó, nếu $n^2$ chia hết cho 2, thì $n$ phải là số chẵn. - Vậy mệnh đề A đúng. Mệnh đề B: $\forall n \in \mathbb{N}: n \vdots 2 \Rightarrow n^2 \vdots 2$ - Giả sử $n$ chia hết cho 2, tức là $n$ là số chẵn. - Bình phương của một số chẵn cũng là số chẵn. - Vậy $n^2$ chia hết cho 2. - Vậy mệnh đề B đúng. Mệnh đề C: $\forall n \in \mathbb{N}: n \vdots 2$ - Mệnh đề này khẳng định rằng mọi số tự nhiên $n$ đều chia hết cho 2. - Điều này rõ ràng là sai vì có nhiều số tự nhiên lẻ (ví dụ: 1, 3, 5, ...). - Vậy mệnh đề C sai. Mệnh đề D: $\forall n \in \mathbb{N}: n \geq 0$ - Mệnh đề này khẳng định rằng mọi số tự nhiên $n$ đều lớn hơn hoặc bằng 0. - Điều này đúng vì tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$ bao gồm các số 0, 1, 2, 3, ... - Vậy mệnh đề D đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề C. Đáp án: C. $\forall n \in \mathbb{N}: n \vdots 2$ Câu 9: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết: Mệnh đề A: $\forall n \in \mathbb{N}: n(n+1)$ là số chính phương. - Xét $n = 1$: $1(1+1) = 2$, không phải số chính phương. - Vậy mệnh đề A sai. Mệnh đề B: $\forall n \in \mathbb{N}: n(n+1)$ là số lẻ. - Xét $n = 1$: $1(1+1) = 2$, là số chẵn. - Vậy mệnh đề B sai. Mệnh đề C: $\exists n \in \mathbb{N}: n(n+1)(n+2)$ là số lẻ. - Ta thấy trong ba số liên tiếp $n, n+1, n+2$ luôn có ít nhất một số chẵn. - Do đó, tích của ba số này luôn là số chẵn. - Vậy mệnh đề C sai. Mệnh đề D: $\forall n \in \mathbb{N}: n(n+1)(n+2)$ là số chia hết cho 6. - Trong ba số liên tiếp $n, n+1, n+2$ luôn có ít nhất một số chẵn và một số chia hết cho 3. - Do đó, tích của ba số này luôn chia hết cho 6. - Vậy mệnh đề D đúng. Kết luận: Mệnh đề đúng là D. Câu 10: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết: Mệnh đề A: \[ \forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: x + y^2 \geq 0 \] - Với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta chọn \( y = 0 \). Khi đó: \[ x + 0^2 = x \] - Nếu \( x \geq 0 \), thì \( x + 0^2 \geq 0 \) đúng. - Nếu \( x < 0 \), ta chọn \( y \) sao cho \( y^2 \geq -x \). Vì \( y^2 \geq 0 \) luôn đúng, nên tồn tại \( y \) thỏa mãn \( y^2 \geq -x \). Do đó, mệnh đề A là đúng. Mệnh đề B: \[ \exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: x + y^2 \geq 0 \] - Ta chọn \( x = 0 \). Khi đó: \[ 0 + y^2 = y^2 \geq 0 \] luôn đúng với mọi \( y \in \mathbb{R} \). Do đó, mệnh đề B là đúng. Mệnh đề C: \[ \forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: x + y^2 \geq 0 \] - Giả sử \( x = -1 \) và \( y = 0 \). Khi đó: \[ -1 + 0^2 = -1 \not\geq 0 \] Do đó, mệnh đề C là sai. Mệnh đề D: \[ \exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: x + y^2 \leq 0 \] - Chọn \( x = -1 \) và \( y = 0 \). Khi đó: \[ -1 + 0^2 = -1 \leq 0 \] Do đó, mệnh đề D là đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là C. Câu 11: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết: Mệnh đề A: $\forall n \in \mathbb{N}^: n^2 - 1$ là bội số của 3. Xét $n^2 - 1 = (n-1)(n+1)$. Ta thấy rằng trong ba số liên tiếp $n-1$, $n$, $n+1$, luôn có một số chia hết cho 3. Vì $n$ không chia hết cho 3, nên hoặc $n-1$ hoặc $n+1$ phải chia hết cho 3. Do đó, $n^2 - 1$ luôn chia hết cho 3. Vậy mệnh đề A đúng. Mệnh đề B: $\exists x \in \mathbb{Q}: x^2 = 3$. Giả sử tồn tại $x = \frac{p}{q}$ (với $p, q \in \mathbb{Z}$ và $q \neq 0$) sao cho $x^2 = 3$. Khi đó ta có: \[ \left(\frac{p}{q}\right)^2 = 3 \implies p^2 = 3q^2. \] Điều này dẫn đến mâu thuẫn vì $p^2$ phải chia hết cho 3, suy ra $p$ cũng chia hết cho 3. Đặt $p = 3k$, ta có: \[ (3k)^2 = 3q^2 \implies 9k^2 = 3q^2 \implies q^2 = 3k^2. \] Từ đây suy ra $q$ cũng chia hết cho 3, mâu thuẫn với giả thiết $p$ và $q$ không cùng chia hết cho 3. Vậy mệnh đề B sai. Mệnh đề C: $\forall n \in \mathbb{N}: 2^n + 1$ là số nguyên tố. Kiểm tra với $n = 4$: \[ 2^4 + 1 = 16 + 1 = 17, \] 17 là số nguyên tố. Kiểm tra với $n = 5$: \[ 2^5 + 1 = 32 + 1 = 33, \] 33 không phải là số nguyên tố. Vậy mệnh đề C sai. Mệnh đề D: $\forall n \in \mathbb{N}: 2^n \geq n + 2$. Kiểm tra với $n = 1$: \[ 2^1 = 2 \quad \text{và} \quad 1 + 2 = 3 \implies 2 < 3. \] Vậy mệnh đề D sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là A. Câu 12: Một số thực dương có thể viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn khi và chỉ khi nó là số hữu tỉ.