giải giúp mình

A. Đúng vì \( x^2 > 0 \) với mọi \( x \neq 0 \). Tuy nhiên, nếu \( x = 0 \), thì \( x^2 = 0 \), do đó phát biểu này sai. B. Sai vì không phải tất cả các số tự nhiên đều chia hết cho 3. Ví dụ, \( x = 1 \) không chia hết cho 3. C. Sai vì \( -x^2 < 0 \) chỉ đúng khi \( x \neq 0 \). Nếu \( x = 0 \), thì \( -x^2 = 0 \), do đó phát biểu này sai. D. Đúng vì tồn tại ít nhất một số thực \( x \) sao cho \( x > x^2 \). Ví dụ, \( x = 0.5 \) thỏa mãn \( 0.5 > 0.25 \). Vậy đáp án đúng là D. Câu 13: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết: Mệnh đề A: $\forall n \in \mathbb{N},~n^2 + 1$ không chia hết cho 3. - Xét các trường hợp của $n$ theo modulo 3: - Nếu $n \equiv 0 \pmod{3}$, thì $n^2 \equiv 0 \pmod{3}$, suy ra $n^2 + 1 \equiv 1 \pmod{3}$. - Nếu $n \equiv 1 \pmod{3}$, thì $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$, suy ra $n^2 + 1 \equiv 2 \pmod{3}$. - Nếu $n \equiv 2 \pmod{3}$, thì $n^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$, suy ra $n^2 + 1 \equiv 2 \pmod{3}$. Như vậy, trong mọi trường hợp, $n^2 + 1$ không chia hết cho 3. Mệnh đề A đúng. Mệnh đề B: $\forall x \in \mathbb{R}, |x| < 3 \Leftrightarrow x < 3$. - Điều này không đúng vì $|x| < 3$ có nghĩa là $-3 < x < 3$. Do đó, $x < 3$ không đủ để suy ra $|x| < 3$ (ví dụ, nếu $x = -4$, thì $x < 3$ nhưng $|x| = 4 > 3$). Mệnh đề B sai. Mệnh đề C: $\forall x \in \mathbb{R}, (x - 1)^2 \ne x - 1$. - Ta có $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$. - So sánh với $x - 1$, ta thấy rằng $(x - 1)^2 = x - 1$ khi $x^2 - 2x + 1 = x - 1$, tức là $x^2 - 3x + 2 = 0$. - Giải phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$, ta được $x = 1$ hoặc $x = 2$. Do đó, tồn tại $x$ sao cho $(x - 1)^2 = x - 1$. Mệnh đề C sai. Mệnh đề D: $\exists n \in \mathbb{N}, n^2 + 1$ chia hết cho 4. - Xét các trường hợp của $n$ theo modulo 4: - Nếu $n \equiv 0 \pmod{4}$, thì $n^2 \equiv 0 \pmod{4}$, suy ra $n^2 + 1 \equiv 1 \pmod{4}$. - Nếu $n \equiv 1 \pmod{4}$, thì $n^2 \equiv 1 \pmod{4}$, suy ra $n^2 + 1 \equiv 2 \pmod{4}$. - Nếu $n \equiv 2 \pmod{4}$, thì $n^2 \equiv 4 \equiv 0 \pmod{4}$, suy ra $n^2 + 1 \equiv 1 \pmod{4}$. - Nếu $n \equiv 3 \pmod{4}$, thì $n^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod{4}$, suy ra $n^2 + 1 \equiv 2 \pmod{4}$. Như vậy, trong mọi trường hợp, $n^2 + 1$ không chia hết cho 4. Mệnh đề D sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là A. Câu 14: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết: A. \( \forall n,~n(n+1) \) là số chính phương. - Xét \( n = 1 \): \( 1(1+1) = 2 \), 2 không phải là số chính phương. - Vậy mệnh đề A sai. B. \( \forall n,~n(n+1) \) là số lẻ. - Xét \( n = 1 \): \( 1(1+1) = 2 \), 2 là số chẵn. - Vậy mệnh đề B sai. C. \( \exists n,~n(n+1)(n+2) \) là số lẻ. - Ta thấy trong ba số liên tiếp \( n, n+1, n+2 \), luôn có ít nhất một số chẵn. - Do đó, tích của ba số liên tiếp luôn chia hết cho 2, tức là luôn là số chẵn. - Vậy mệnh đề C sai. D. \( \forall n,~n(n+1)(n+2) \) là số chia hết cho 6. - Trong ba số liên tiếp \( n, n+1, n+2 \), luôn có ít nhất một số chẵn và một số chia hết cho 3. - Do đó, tích của ba số liên tiếp luôn chia hết cho 2 và 3, tức là luôn chia hết cho 6. - Vậy mệnh đề D đúng. Kết luận: Mệnh đề đúng là D. Câu 15: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết: A. \( \forall n \in \mathbb{N}^,~n^2 - 1 \) là bội số của 3. Xét \( n \) chia hết cho 3: - Nếu \( n \equiv 0 \pmod{3} \), thì \( n^2 \equiv 0 \pmod{3} \) và \( n^2 - 1 \equiv -1 \pmod{3} \). Điều này không thỏa mãn. Xét \( n \) chia dư 1 cho 3: - Nếu \( n \equiv 1 \pmod{3} \), thì \( n^2 \equiv 1 \pmod{3} \) và \( n^2 - 1 \equiv 0 \pmod{3} \). Điều này thỏa mãn. Xét \( n \) chia dư 2 cho 3: - Nếu \( n \equiv 2 \pmod{3} \), thì \( n^2 \equiv 4 \pmod{3} \equiv 1 \pmod{3} \) và \( n^2 - 1 \equiv 0 \pmod{3} \). Điều này thỏa mãn. Như vậy, \( n^2 - 1 \) là bội số của 3 khi \( n \equiv 1 \pmod{3} \) hoặc \( n \equiv 2 \pmod{3} \). Tuy nhiên, không phải tất cả các \( n \in \mathbb{N}^ \) đều thỏa mãn điều này. Do đó, mệnh đề A sai. B. \( \exists x \in \mathbb{Q},~x^2 = 3 \). Giả sử tồn tại \( x \in \mathbb{Q} \) sao cho \( x^2 = 3 \). Ta có thể viết \( x = \frac{p}{q} \) với \( p, q \in \mathbb{Z} \) và \( q \neq 0 \), \( \gcd(p, q) = 1 \). Do đó: \[ \left( \frac{p}{q} \right)^2 = 3 \] \[ \frac{p^2}{q^2} = 3 \] \[ p^2 = 3q^2 \] Điều này có nghĩa là \( p^2 \) chia hết cho 3, suy ra \( p \) cũng chia hết cho 3. Đặt \( p = 3k \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Thay vào ta có: \[ (3k)^2 = 3q^2 \] \[ 9k^2 = 3q^2 \] \[ 3k^2 = q^2 \] Điều này có nghĩa là \( q^2 \) chia hết cho 3, suy ra \( q \) cũng chia hết cho 3. Điều này mâu thuẫn với giả thiết \( \gcd(p, q) = 1 \). Do đó, không tồn tại \( x \in \mathbb{Q} \) sao cho \( x^2 = 3 \). Mệnh đề B sai. C. \( \forall n \in \mathbb{N},~2^n + 1 \) là số nguyên tố. Kiểm tra vài giá trị cụ thể: - Khi \( n = 0 \): \( 2^0 + 1 = 2 \) (số nguyên tố) - Khi \( n = 1 \): \( 2^1 + 1 = 3 \) (số nguyên tố) - Khi \( n = 2 \): \( 2^2 + 1 = 5 \) (số nguyên tố) - Khi \( n = 3 \): \( 2^3 + 1 = 9 \) (không phải số nguyên tố) Do đó, mệnh đề C sai. D. \( \exists n \in \mathbb{N},~2^n \geq n + 2 \). Kiểm tra vài giá trị cụ thể: - Khi \( n = 0 \): \( 2^0 = 1 \) và \( 0 + 2 = 2 \) (không thỏa mãn) - Khi \( n = 1 \): \( 2^1 = 2 \) và \( 1 + 2 = 3 \) (không thỏa mãn) - Khi \( n = 2 \): \( 2^2 = 4 \) và \( 2 + 2 = 4 \) (thỏa mãn) Do đó, tồn tại \( n = 2 \) sao cho \( 2^n \geq n + 2 \). Mệnh đề D đúng. Vậy đáp án đúng là: \( \boxed{D} \).