giải giúp mình với ạ

Câu 12: Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất và công thức lượng giác cơ bản. Hãy cùng giải từng phần một cách chi tiết. a) Tính giá trị của biểu thức \( A = \cos 0^\circ + \cos 10^\circ + \cos 20^\circ + \ldots + \cos 180^\circ \). Biểu thức này là tổng của các giá trị cosin của các góc từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\) với bước nhảy \(10^\circ\). Chúng ta có thể nhóm các cặp góc có tổng bằng \(180^\circ\) như sau: \[ \begin{align} A &= (\cos 0^\circ + \cos 180^\circ) + (\cos 10^\circ + \cos 170^\circ) + (\cos 20^\circ + \cos 160^\circ) \\ &\quad + \ldots + (\cos 80^\circ + \cos 100^\circ) + \cos 90^\circ. \end{align} \] Ta biết rằng: - \(\cos 0^\circ = 1\) và \(\cos 180^\circ = -1\), do đó \(\cos 0^\circ + \cos 180^\circ = 0\). - \(\cos 10^\circ = -\cos 170^\circ\), \(\cos 20^\circ = -\cos 160^\circ\), ..., \(\cos 80^\circ = -\cos 100^\circ\). Vì vậy, tất cả các cặp này đều có tổng bằng 0. Ngoài ra, \(\cos 90^\circ = 0\). Do đó, tổng \(A = 0\). b) Tính giá trị của biểu thức \( B = \sin^2 1^\circ + \sin^2 2^\circ + \sin^2 3^\circ + \ldots + \sin^2 89^\circ \). Sử dụng công thức \(\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\), ta có: \[ B = \sum_{k=1}^{89} \sin^2 k^\circ = \sum_{k=1}^{89} \frac{1 - \cos 2k^\circ}{2}. \] Tách tổng ra, ta được: \[ B = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{89} 1 - \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{89} \cos 2k^\circ. \] Phần đầu tiên là: \[ \frac{1}{2} \times 89 = \frac{89}{2}. \] Phần thứ hai, \(\sum_{k=1}^{89} \cos 2k^\circ\), là tổng của các cặp góc có tổng bằng \(180^\circ\), do đó tổng này bằng 0. Vậy, \(B = \frac{89}{2}\). c) Tính giá trị của biểu thức \( C = \tan 1^\circ \cdot \tan 3^\circ \cdot \tan 5^\circ \cdot \ldots \cdot \tan 89^\circ \). Sử dụng tính chất \(\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta\), ta có: \[ \tan 89^\circ = \cot 1^\circ, \tan 87^\circ = \cot 3^\circ, \ldots, \tan 1^\circ = \cot 89^\circ. \] Do đó, mỗi cặp \(\tan k^\circ \cdot \tan (90^\circ - k^\circ) = 1\). Vì vậy, tích \(C = 1\). d) Tính giá trị của biểu thức \( D = \cos 0^\circ \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \ldots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ \). Biểu thức này có thể được viết lại như: \[ D = \cos 0^\circ + \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \ldots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ. \] Tương tự như phần a), các cặp \(\cos 0^\circ + \cos 180^\circ\), \(\cos 20^\circ + \cos 160^\circ\), ..., đều có tổng bằng 0. Do đó, \(D = 0\). Kết luận: - \(A = 0\). - \(B = \frac{89}{2}\). - \(C = 1\). - \(D = 0\). Câu 13: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và điều kiện cho trước. Ta có góc $\alpha$ thỏa mãn $0^0< \alpha< 180^0$ và $\tan\alpha=2$. a) Tính giá trị của $G=2\sin\alpha+\cos\alpha$ 1. Tìm $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$: Từ $\tan\alpha = 2$, ta có: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2 \implies \sin\alpha = 2\cos\alpha \] 2. Sử dụng công thức $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: Thay $\sin\alpha = 2\cos\alpha$ vào công thức trên: \[ (2\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1 \implies 4\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \implies 5\cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = \frac{1}{5} \implies \cos\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \] 3. Tìm $\sin\alpha$: Với $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$, ta có: \[ \sin\alpha = 2\cos\alpha = 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] Với $\cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}}$, ta có: \[ \sin\alpha = 2\cos\alpha = 2 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -\frac{2}{\sqrt{5}} \] Tuy nhiên, do $0^0< \alpha< 180^0$, $\sin\alpha$ phải dương, nên ta chọn $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$ và $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$. 4. Tính $G$: \[ G = 2\sin\alpha + \cos\alpha = 2 \times \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \] b) Tính giá trị của $H=\frac{2\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$ 1. Tính tử số và mẫu số: Tử số: $2\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{5}$ (đã tính ở phần a). Mẫu số: \[ \sin\alpha - \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2 - 1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \] 2. Tính $H$: \[ H = \frac{2\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5 \] Vậy, giá trị của $G$ là $\sqrt{5}$ và giá trị của $H$ là $5$. Câu 14: Để tính giá trị của biểu thức \( P = \frac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{3\sin\alpha + 2\cos\alpha} \) với điều kiện \( \tan\alpha = 3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\): Từ \(\tan\alpha = 3\), ta có: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 3 \implies \sin\alpha = 3\cos\alpha \] Sử dụng hệ thức lượng giác cơ bản \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), ta thay \(\sin\alpha = 3\cos\alpha\) vào: \[ (3\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ 9\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] \[ 10\cos^2\alpha = 1 \implies \cos^2\alpha = \frac{1}{10} \] \[ \cos\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} \] Vì \(0^0 < \alpha < 180^0\), \(\cos\alpha\) có thể âm hoặc dương. Tuy nhiên, để xác định chính xác, ta cần xét dấu của \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) trong từng góc phần tư. - Nếu \(0^0 < \alpha < 90^0\), \(\cos\alpha > 0\) và \(\sin\alpha > 0\). - Nếu \(90^0 < \alpha < 180^0\), \(\cos\alpha < 0\) và \(\sin\alpha > 0\). Do \(\tan\alpha = 3 > 0\), nên \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ nhất, do đó \(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}\). Từ \(\sin\alpha = 3\cos\alpha\), ta có: \[ \sin\alpha = 3 \times \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \] 2. Tính giá trị của biểu thức \(P\): Thay \(\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}\) và \(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}\) vào biểu thức \(P\): \[ P = \frac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{3\sin\alpha + 2\cos\alpha} = \frac{2 \times \frac{3}{\sqrt{10}} - 3 \times \frac{1}{\sqrt{10}}}{3 \times \frac{3}{\sqrt{10}} + 2 \times \frac{1}{\sqrt{10}}} \] \[ = \frac{\frac{6}{\sqrt{10}} - \frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{9}{\sqrt{10}} + \frac{2}{\sqrt{10}}} \] \[ = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{11}{\sqrt{10}}} \] \[ = \frac{3}{11} \] Vậy, giá trị của biểu thức \(P\) là \(\frac{3}{11}\). Câu 15: Để tính giá trị của biểu thức \( P = 3\sin^2 x + 4\cos^2 x \) khi biết \( \cos x = \frac{1}{2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(\sin^2 x\): - Ta biết rằng \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). - Thay giá trị \( \cos x = \frac{1}{2} \) vào công thức trên: \[ \sin^2 x + \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 x + \frac{1}{4} = 1 \] \[ \sin^2 x = 1 - \frac{1}{4} \] \[ \sin^2 x = \frac{3}{4} \] 2. Thay giá trị của \(\sin^2 x\) và \(\cos^2 x\) vào biểu thức \(P\): - Biểu thức \( P \) là: \[ P = 3\sin^2 x + 4\cos^2 x \] - Thay \( \sin^2 x = \frac{3}{4} \) và \( \cos^2 x = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \): \[ P = 3 \left( \frac{3}{4} \right) + 4 \left( \frac{1}{4} \right) \] \[ P = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} \] \[ P = \frac{9}{4} + 1 \] \[ P = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} \] \[ P = \frac{13}{4} \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là \( \frac{13}{4} \). Câu 16: Để tính giá trị của biểu thức \( C = \frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha + 2\sin\alpha} \) khi biết \( \tan\alpha = \sqrt{2} \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Biểu diễn \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) theo \(\tan\alpha\): Ta có: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sqrt{2} \] Suy ra: \sin\alpha = \sqrt{2} \cos\alpha 2. Sử dụng công thức \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\): Thay \(\sin\alpha = \sqrt{2} \cos\alpha\) vào công thức này: (\sqrt{2} \cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1 2\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 3\cos^2\alpha = 1 \cos^2\alpha = \frac{1}{3} \cos\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} Vì \(\alpha\) nằm trong nửa đường tròn đơn vị (góc phần tư I và II), nên \(\cos\alpha\) có thể là dương hoặc âm. Tuy nhiên, vì \(\tan\alpha = \sqrt{2}\) là dương, \(\alpha\) nằm trong góc phần tư I, do đó \(\cos\alpha\) cũng phải dương: \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \sin\alpha = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} 3. Thay \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) vào biểu thức \(C\): C = \frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin^3\alpha + 3\cos^3\alpha + 2\sin\alpha} C = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^3 + 3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 + 2\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)} C = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{6\sqrt{6}}{27} + 3 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} + 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}} C = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{6\sqrt{6}}{27} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{6}}{3}} Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 17: Để tính giá trị của biểu thức \( P = \frac{2\sin\alpha - \sqrt{2}\cos\alpha}{4\sin\alpha + 3\sqrt{2}\cos\alpha} \) biết \( \cot\alpha = -\sqrt{2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Biểu diễn \( \sin\alpha \) và \( \cos\alpha \) thông qua \( \cot\alpha \). Ta có: \[ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\sqrt{2} \] Suy ra: \[ \cos\alpha = -\sqrt{2} \sin\alpha \] Bước 2: Thay \( \cos\alpha = -\sqrt{2} \sin\alpha \) vào biểu thức \( P \). \[ P = \frac{2\sin\alpha - \sqrt{2}(-\sqrt{2} \sin\alpha)}{4\sin\alpha + 3\sqrt{2}(-\sqrt{2} \sin\alpha)} \] Bước 3: Rút gọn tử số và mẫu số. Tử số: \[ 2\sin\alpha - \sqrt{2}(-\sqrt{2} \sin\alpha) = 2\sin\alpha + 2\sin\alpha = 4\sin\alpha \] Mẫu số: \[ 4\sin\alpha + 3\sqrt{2}(-\sqrt{2} \sin\alpha) = 4\sin\alpha - 6\sin\alpha = -2\sin\alpha \] Bước 4: Tính giá trị của \( P \). \[ P = \frac{4\sin\alpha}{-2\sin\alpha} = \frac{4}{-2} = -2 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ P = -2 \]