giải giúp mình

Câu 11: Ta có \( x^4 - 6x^2 + 8 = 0 \). Đặt \( y = x^2 \). Ta có phương trình \( y^2 - 6y + 8 = 0 \). Giải phương trình này ta được: \( y = 2 \) hoặc \( y = 4 \). Với \( y = 2 \), ta có \( x^2 = 2 \), suy ra \( x = \pm \sqrt{2} \). Với \( y = 4 \), ta có \( x^2 = 4 \), suy ra \( x = \pm 2 \). Vậy các phần tử của tập \( X \) là \( -2, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2 \). Do đó, đáp án đúng là: \( D.~X=\{-2;-\sqrt2;\sqrt2;2\}. \) Câu 12: Để tìm các phần tử của tập \( X = \{ x \in \mathbb{Q} | (x^2 - x - 6)(x^2 - 5) = 0 \} \), chúng ta sẽ giải phương trình \((x^2 - x - 6)(x^2 - 5) = 0\). Phương trình này sẽ thỏa mãn nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0: \[ x^2 - x - 6 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 5 = 0 \] 1. Giải phương trình \( x^2 - x - 6 = 0 \): \[ x^2 - x - 6 = 0 \] Ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử: \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \] Do đó: \[ x - 3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 2 = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] 2. Giải phương trình \( x^2 - 5 = 0 \): \[ x^2 - 5 = 0 \] \[ x^2 = 5 \] \[ x = \sqrt{5} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{5} \] Tuy nhiên, vì \( x \in \mathbb{Q} \) (tập hợp các số hữu tỉ), nên các giá trị \( \sqrt{5} \) và \( -\sqrt{5} \) không thuộc tập hợp các số hữu tỉ. Do đó, các phần tử của tập \( X \) là: \[ X = \{ -2, 3 \} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~X = \{-2; 3\} \] Câu 13: Phương trình \( x^2 + x + 1 = 0 \) là một phương trình bậc hai. Để tìm nghiệm của phương trình này, ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong phương trình \( x^2 + x + 1 = 0 \), ta có: - \( a = 1 \) - \( b = 1 \) - \( c = 1 \) Tính biệt thức \( \Delta \): \[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \] Vì \( \Delta < 0 \), phương trình \( x^2 + x + 1 = 0 \) không có nghiệm thực. Do đó, tập \( X \) không chứa bất kỳ phần tử nào, tức là \( X = \emptyset \). Đáp án đúng là: \( C.~X=\emptyset \). Câu 14: Để tìm các phần tử của tập hợp \( A = \{ x \in \mathbb{N} | x \) là ước chung của 36 và 120 \}, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Phân tích số 36 thành thừa số nguyên tố: \[ 36 = 2^2 \times 3^2 \] 2. Phân tích số 120 thành thừa số nguyên tố: \[ 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \] 3. Tìm ước chung của 36 và 120: - Các thừa số nguyên tố chung của 36 và 120 là 2 và 3. - Số mũ nhỏ nhất của thừa số 2 trong hai phân tích là \( 2^2 \). - Số mũ nhỏ nhất của thừa số 3 trong hai phân tích là \( 3^1 \). 4. Liệt kê các ước chung của 36 và 120: - Các ước chung của 36 và 120 là các số có thể viết dưới dạng \( 2^a \times 3^b \) với \( 0 \leq a \leq 2 \) và \( 0 \leq b \leq 1 \). Ta có: \[ 2^0 \times 3^0 = 1 \] \[ 2^1 \times 3^0 = 2 \] \[ 2^2 \times 3^0 = 4 \] \[ 2^0 \times 3^1 = 3 \] \[ 2^1 \times 3^1 = 6 \] \[ 2^2 \times 3^1 = 12 \] Do đó, các phần tử của tập hợp \( A \) là: \[ A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~A=\{1;2;3;4;6;12\}} \] Câu 15: Để tìm số phần tử của tập hợp \( A = \{ k^2 + 1 \mid k \in \mathbb{Z}, |k| \leq 2 \} \), chúng ta sẽ liệt kê tất cả các giá trị có thể của \( k \) trong khoảng \( |k| \leq 2 \) và tính tương ứng \( k^2 + 1 \). Các giá trị của \( k \) trong khoảng \( |k| \leq 2 \) là: \[ k = -2, -1, 0, 1, 2 \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính \( k^2 + 1 \) cho mỗi giá trị của \( k \): - Khi \( k = -2 \): \[ (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \] - Khi \( k = -1 \): \[ (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \] - Khi \( k = 0 \): \[ 0^2 + 1 = 0 + 1 = 1 \] - Khi \( k = 1 \): \[ 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \] - Khi \( k = 2 \): \[ 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \] Như vậy, các giá trị của \( k^2 + 1 \) là \( 5, 2, 1, 2, 5 \). Tập hợp \( A \) chứa các giá trị duy nhất này, tức là: \[ A = \{ 1, 2, 5 \} \] Do đó, số phần tử của tập hợp \( A \) là 3. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 16: Để xác định tập hợp nào trong các tập hợp A, B, C, D là rỗng, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng tập hợp. 1. Tập hợp A: \[ A = \{\emptyset\} \] Tập hợp này chứa một phần tử là \(\emptyset\). Do đó, tập hợp A không rỗng. 2. Tập hợp B: \[ B = \{x \in \mathbb{N} | (3x - 2)(3x^2 + 4x + 1) = 0\} \] Ta giải phương trình \((3x - 2)(3x^2 + 4x + 1) = 0\): \[ 3x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 3x^2 + 4x + 1 = 0 \] Giải \(3x - 2 = 0\): \[ 3x = 2 \] \[ x = \frac{2}{3} \] \(x = \frac{2}{3}\) không thuộc \(\mathbb{N}\). Giải \(3x^2 + 4x + 1 = 0\): \[ \Delta = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 2}{6} \] \[ x = \frac{-4 + 2}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \] \[ x = \frac{-4 - 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \] Cả hai nghiệm \(x = -\frac{1}{3}\) và \(x = -1\) đều không thuộc \(\mathbb{N}\). Do đó, tập hợp B không chứa bất kỳ phần tử nào thuộc \(\mathbb{N}\). Vậy tập hợp B rỗng. 3. Tập hợp C: \[ C = \{x \in \mathbb{Z} | (3x - 2)(3x^2 + 4x + 1) = 0\} \] Ta đã biết nghiệm của phương trình \((3x - 2)(3x^2 + 4x + 1) = 0\) là \(x = \frac{2}{3}\), \(x = -\frac{1}{3}\), và \(x = -1\). Trong các nghiệm này, chỉ có \(x = -1\) thuộc \(\mathbb{Z}\). Do đó, tập hợp C chứa phần tử \(x = -1\). Vậy tập hợp C không rỗng. 4. Tập hợp D: \[ D = \{x \in \mathbb{Q} | (3x - 2)(3x^2 + 4x + 1) = 0\} \] Ta đã biết nghiệm của phương trình \((3x - 2)(3x^2 + 4x + 1) = 0\) là \(x = \frac{2}{3}\), \(x = -\frac{1}{3}\), và \(x = -1\). Trong các nghiệm này, cả \(x = \frac{2}{3}\), \(x = -\frac{1}{3}\), và \(x = -1\) đều thuộc \(\mathbb{Q}\). Do đó, tập hợp D chứa các phần tử \(x = \frac{2}{3}\), \(x = -\frac{1}{3}\), và \(x = -1\). Vậy tập hợp D không rỗng. Kết luận: Tập hợp rỗng là tập hợp B. Đáp án: B. Câu 17: Ta sẽ kiểm tra từng tập hợp để xác định tập hợp nào rỗng. A. Tập hợp \( A = \{x \in \mathbb{N} | x^2 - 4 = 0\} \) Giải phương trình \( x^2 - 4 = 0 \): \[ x^2 = 4 \] \[ x = 2 \text{ hoặc } x = -2 \] Do \( x \) phải thuộc tập hợp số tự nhiên \( \mathbb{N} \), nên chỉ có \( x = 2 \) là thỏa mãn. Vậy tập hợp \( A \) không rỗng. B. Tập hợp \( B = \{x \in \mathbb{R} | x^2 + 2x + 3 = 0\} \) Giải phương trình \( x^2 + 2x + 3 = 0 \): \[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \] Vì \( \Delta < 0 \), phương trình này không có nghiệm thực. Vậy tập hợp \( B \) rỗng. C. Tập hợp \( C = \{x \in \mathbb{R} | x^2 - 5 = 0\} \) Giải phương trình \( x^2 - 5 = 0 \): \[ x^2 = 5 \] \[ x = \sqrt{5} \text{ hoặc } x = -\sqrt{5} \] Do \( x \) phải thuộc tập hợp số thực \( \mathbb{R} \), nên cả hai nghiệm đều thỏa mãn. Vậy tập hợp \( C \) không rỗng. D. Tập hợp \( D = \{x \in \mathbb{Q} | x^2 + x - 12 = 0\} \) Giải phương trình \( x^2 + x - 12 = 0 \): \[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ x = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \text{ hoặc } x = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \] Do \( x \) phải thuộc tập hợp số hữu tỉ \( \mathbb{Q} \), nên cả hai nghiệm đều thỏa mãn. Vậy tập hợp \( D \) không rỗng. Kết luận: Tập hợp rỗng là \( B \). Đáp án: \( B \). Câu 18: Để xác định tập hợp nào trong các tập hợp A, B, C, D là tập hợp rỗng, chúng ta sẽ kiểm tra từng tập hợp một. A. Tập hợp \( A = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| < 1\} \): - Điều kiện \( |x| < 1 \) có nghĩa là \( -1 < x < 1 \). - Các số nguyên nằm trong khoảng này là \( x = 0 \). - Vậy tập hợp \( A \) không phải là tập hợp rỗng vì nó chứa số 0. B. Tập hợp \( B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 6x^2 - 7x + 1 = 0\} \): - Giải phương trình \( 6x^2 - 7x + 1 = 0 \) bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 6 \), \( b = -7 \), \( c = 1 \): \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{12} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{7 \pm 5}{12} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{12}{12} = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \] - Chỉ có \( x_1 = 1 \) là số nguyên, còn \( x_2 = \frac{1}{6} \) không phải là số nguyên. - Vậy tập hợp \( B \) không phải là tập hợp rỗng vì nó chứa số 1. C. Tập hợp \( C = \{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 - 4x + 2 = 0\} \): - Giải phương trình \( x^2 - 4x + 2 = 0 \) bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} \] - Các nghiệm \( x_1 = 2 + \sqrt{2} \) và \( x_2 = 2 - \sqrt{2} \) đều không phải là số hữu tỉ. - Vậy tập hợp \( C \) là tập hợp rỗng vì không có nghiệm nào là số hữu tỉ. D. Tập hợp \( D = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 4x + 3 = 0\} \): - Giải phương trình \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \] - Vậy tập hợp \( D \) không phải là tập hợp rỗng vì nó chứa các số 1 và 3. Kết luận: Tập hợp rỗng là tập hợp \( C \). Đáp án: \( C \). Câu 19: Để giải phương trình \(2x^2 - 7x + 5 = 0\), ta sẽ sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai tổng quát có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\). Trong trường hợp này, \(a = 2\), \(b = -7\), và \(c = 5\). Ta tính biệt thức \(\Delta\) theo công thức: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Thay các giá trị \(a\), \(b\), và \(c\) vào, ta có: \[ \Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 \] Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Các nghiệm của phương trình được tính bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \] Thay các giá trị \(a\), \(b\), và \(\Delta\) vào, ta có: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{7 \pm 3}{4} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \] \[ x_2 = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] Vậy tập hợp \(X\) chứa các nghiệm của phương trình là: \[ X = \left\{1, \frac{5}{2}\right\} \] Đáp án đúng là: \[ A.~X = \left\{1, \frac{5}{2}\right\} \] Câu 20: Để liệt kê các phần tử của tập hợp \( X = \{ x \in \mathbb{N} | 3x - 5 < x \} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Giải bất phương trình \( 3x - 5 < x \): \[ 3x - 5 < x \] Chuyển \( x \) sang vế trái: \[ 3x - x < 5 \] Rút gọn: \[ 2x < 5 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x < \frac{5}{2} \] 2. Vì \( x \) thuộc tập hợp số tự nhiên \( \mathbb{N} \), nên các giá trị của \( x \) phải là số tự nhiên nhỏ hơn \( \frac{5}{2} \). Các số tự nhiên nhỏ hơn \( \frac{5}{2} \) là 0, 1, và 2. 3. Vậy các phần tử của tập hợp \( X \) là: \[ X = \{ 0, 1, 2 \} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~X = \{ 0; 1; 2 \} \] Câu 21: Để liệt kê các phần tử của tập hợp \( X = \{ x \in \mathbb{N} | \frac{5}{|2x - 1|} > 2 \} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức \(\frac{5}{|2x - 1|}\) có mẫu số là \(|2x - 1|\). Để biểu thức này có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ |2x - 1| \neq 0 \implies 2x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2} \] - Vì \(x\) thuộc tập hợp số tự nhiên \(\mathbb{N}\), nên \(x\) không thể là \(\frac{1}{2}\). 2. Giải bất phương trình: - Ta cần giải bất phương trình \(\frac{5}{|2x - 1|} > 2\): \[ \frac{5}{|2x - 1|} > 2 \implies 5 > 2|2x - 1| \implies |2x - 1| < \frac{5}{2} \implies |2x - 1| < 2.5 \] 3. Phân tích giá trị tuyệt đối: - Ta có hai trường hợp để giải bất phương trình \(|2x - 1| < 2.5\): \[ -2.5 < 2x - 1 < 2.5 \] - Giải từng trường hợp: \[ -2.5 < 2x - 1 \implies -1.5 < 2x \implies x > -0.75 \] \[ 2x - 1 < 2.5 \implies 2x < 3.5 \implies x < 1.75 \] 4. Kết hợp các điều kiện: - Kết hợp các điều kiện \(x > -0.75\) và \(x < 1.75\) với \(x \in \mathbb{N}\): \[ x \in \{0, 1\} \] 5. Kiểm tra các giá trị \(x\): - Kiểm tra \(x = 0\): \[ \frac{5}{|2(0) - 1|} = \frac{5}{1} = 5 > 2 \quad (\text{đúng}) \] - Kiểm tra \(x = 1\): \[ \frac{5}{|2(1) - 1|} = \frac{5}{1} = 5 > 2 \quad (\text{đúng}) \] 6. Kết luận: - Các giá trị \(x\) thỏa mãn điều kiện là \(0\) và \(1\). Do đó, tập hợp \(X\) là: \[ X = \{0, 1\} \] Đáp án đúng là: \[ B.~X = \{0; 1\} \]