giải giúp mình

Câu 22: Để liệt kê các phần tử của tập hợp \( X = \{ x \in \mathbb{Z} | (x^2 - 10x + 21)(x^3 - x) = 0 \} \), chúng ta sẽ giải phương trình \((x^2 - 10x + 21)(x^3 - x) = 0\). Phương trình này sẽ thỏa mãn nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0: \[ x^2 - 10x + 21 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^3 - x = 0 \] Giải phương trình \( x^2 - 10x + 21 = 0 \): \[ x^2 - 10x + 21 = 0 \] Ta giải phương trình bậc hai này bằng cách phân tích thành nhân tử: \[ x^2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7) = 0 \] Do đó: \[ x - 3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 7 = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = 7 \] Giải phương trình \( x^3 - x = 0 \): \[ x^3 - x = 0 \] Ta phân tích thành nhân tử: \[ x(x^2 - 1) = 0 \] \[ x(x - 1)(x + 1) = 0 \] Do đó: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Kết hợp tất cả các nghiệm đã tìm được: \[ x = 3, 7, 0, 1, -1 \] Vậy tập hợp \( X \) là: \[ X = \{-1, 0, 1, 3, 7\} \] Đáp án đúng là: \[ D.~X = \{-1; 0; 1; 3; 7\} \] Câu 23: Để xác định tính chất đặc trưng của tập hợp \( X = \{1, 2, 3, 4, 5\} \), chúng ta cần kiểm tra từng đáp án: A. \( \{x \in \mathbb{N} | x \leq 5\} \) - Tập hợp này bao gồm tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 5, tức là \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \). Điều này không đúng vì tập hợp \( X \) không chứa số 0. B. \( \{x \in \mathbb{N}^ | x \leq 5\} \) - Tập hợp này bao gồm tất cả các số tự nhiên khác 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 5, tức là \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \). Điều này đúng vì tập hợp \( X \) chính là tập hợp này. C. \( \{x \in \mathbb{Z} | x \leq 5\} \) - Tập hợp này bao gồm tất cả các số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng 5, tức là \( \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \). Điều này không đúng vì tập hợp \( X \) chỉ chứa các số nguyên dương từ 1 đến 5. D. \( \{x \in \mathbb{R} | x \leq 5\} \) - Tập hợp này bao gồm tất cả các số thực nhỏ hơn hoặc bằng 5. Điều này không đúng vì tập hợp \( X \) chỉ chứa các số nguyên từ 1 đến 5. Vậy, đáp án đúng là: \[ B.~\{x \in \mathbb{N}^ | x \leq 5\} \] Câu 24: Ta có: - Tập hợp X = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} bao gồm tất cả các số nguyên từ -3 đến 3. - Tập hợp A = {x ∈ ℤ | |x| ≤ 3} cũng bao gồm tất cả các số nguyên từ -3 đến 3. - Tập hợp B = {x ∈ ℕ | |x| ≤ 3} chỉ bao gồm các số tự nhiên từ 0 đến 3. - Tập hợp C = {x ∈ ℝ | |x| ≤ 3} bao gồm tất cả các số thực từ -3 đến 3. - Tập hợp D = {x ∈ ℕ | -3 ≤ x ≤ 3} chỉ bao gồm các số tự nhiên từ 0 đến 3. Như vậy, tập hợp X trùng khớp hoàn toàn với tập hợp A. Đáp án đúng là: A. {x ∈ ℤ | |x| ≤ 3}. Câu 25: Ta thấy các phần tử của X đều có dạng $\frac{1}{2^n}$ với $n$ là số tự nhiên khác 0. Ta kiểm tra các đáp án: A. Đáp án này sai vì mẫu số là $2n$, tức là các số chẵn, nhưng các phần tử của X có dạng $\frac{1}{2^n}$, tức là các số lũy thừa của 2. B. Đáp án này đúng vì mẫu số là $2^n$, tức là các số lũy thừa của 2, và $n$ là số tự nhiên khác 0. C. Đáp án này sai vì mẫu số là $2n+1$, tức là các số lẻ, nhưng các phần tử của X có dạng $\frac{1}{2^n}$, tức là các số lũy thừa của 2. D. Đáp án này sai vì mẫu số là $2n-1$, tức là các số lẻ, nhưng các phần tử của X có dạng $\frac{1}{2^n}$, tức là các số lũy thừa của 2. Vậy đáp án đúng là B. Câu 26: Ta thấy các phần tử của tập hợp X đều là các phân số có dạng $\frac{1}{n(n+1)}$ với $n$ là số tự nhiên khác 0. - Tập hợp X không thể là tập hợp con của tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$ vì các phần tử của X đều là các phân số. - Tập hợp X cũng không thể là tập hợp con của tập hợp số nguyên $\mathbb{Z}$ vì các phần tử của X đều là các phân số. - Tập hợp X là tập hợp con của tập hợp số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ vì các phần tử của X đều là các phân số. Do đó, đáp án đúng là B. $\{x\in\mathbb{Q}|x=\frac{1}{n(n+1)};n\in\mathbb{N}^\}$. Câu 21: Ta có: \[ X = \{ x \in \mathbb{N} | 3x - 5 < x \}. \] Giải bất phương trình: \[ 3x - 5 < x \] \[ 3x - x < 5 \] \[ 2x < 5 \] \[ x < \frac{5}{2} \] \[ x < 2.5 \] Vì \( x \in \mathbb{N} \), nên các giá trị tự nhiên thỏa mãn \( x < 2.5 \) là: \[ x = 0, 1, 2 \] Do đó, tập hợp \( X \) là: \[ X = \{ 0, 1, 2 \} \] Số phần tử của tập hợp \( X \) là: \[ n(X) = 3 \] Đáp án đúng là: \[ C.~n(X) = 3 \] Câu 1: Một tập hợp luôn là con của chính nó nên \( A \subset A \). Do đó, đáp án đúng là C. Một phần tử thuộc tập hợp thì phải là một đối tượng riêng lẻ trong tập hợp đó. Tập hợp {A} có duy nhất một phần tử là A, do đó \( A \in \{A\} \). Tuy nhiên, đây không phải là đáp án đúng vì chúng ta đang tìm đáp án đúng nhất trong các lựa chọn đã cho. Do đó, đáp án đúng là C. Câu 2: Ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề: (I) \( x \in A \): - Mệnh đề này đúng vì \( x \) là một phần tử của tập hợp \( A \). (II) \( \{x\} \in A \): - Mệnh đề này sai vì \( \{x\} \) là một tập hợp chứa phần tử \( x \), còn \( A \) là một tập hợp chứa các phần tử, không phải các tập hợp con. (III) \( x \subset A \): - Mệnh đề này sai vì \( x \) là một phần tử, không phải một tập hợp con của \( A \). Để nói về sự bao hàm tập hợp, chúng ta cần nói về các tập hợp con. (IV) \( \{x\} \subset A \): - Mệnh đề này đúng vì \( \{x\} \) là một tập hợp con của \( A \), tức là mọi phần tử của \( \{x\} \) đều thuộc \( A \). Vậy trong các mệnh đề trên, các mệnh đề đúng là: C. I và IV. Đáp án: C. I và IV. Câu 3: Để xác định mệnh đề nào tương đương với mệnh đề \( A \neq \emptyset \), chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của mỗi mệnh đề. 1. Mệnh đề \( A \neq \emptyset \) có nghĩa là tập hợp \( A \) không rỗng, tức là tồn tại ít nhất một phần tử thuộc \( A \). 2. Xét các lựa chọn: - Mệnh đề \( A.~\forall x, x \in A \): Điều này có nghĩa là mọi phần tử \( x \) đều thuộc \( A \). Điều này không đúng vì nó yêu cầu tất cả các phần tử trong vũ trụ đều thuộc \( A \), chứ không chỉ cần có ít nhất một phần tử. - Mệnh đề \( B.~\exists x, x \in A \): Điều này có nghĩa là tồn tại ít nhất một phần tử \( x \) thuộc \( A \). Đây chính là điều kiện để \( A \) không rỗng. - Mệnh đề \( C.~\exists x, x \notin A \): Điều này có nghĩa là tồn tại ít nhất một phần tử \( x \) không thuộc \( A \). Điều này không liên quan trực tiếp đến việc \( A \) có rỗng hay không. - Mệnh đề \( D.~\forall x, x \subset A \): Điều này có nghĩa là mọi phần tử \( x \) đều là tập con của \( A \). Điều này cũng không đúng vì nó yêu cầu tất cả các phần tử trong vũ trụ đều là tập con của \( A \), chứ không chỉ cần có ít nhất một phần tử. Do đó, mệnh đề tương đương với \( A \neq \emptyset \) là: \[ B.~\exists x, x \in A \] Đáp án: \( B \) Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị tự nhiên \( x \) thỏa mãn phương trình \((x^2-4)(x-1)(2x^2-7x+3) = 0\). Bước 1: Tìm các giá trị \( x \) sao cho mỗi nhân tử bằng 0. 1. \( x^2 - 4 = 0 \) \[ x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = -2 \] Vì \( x \in \mathbb{N} \), nên \( x = 2 \). 2. \( x - 1 = 0 \) \[ x = 1 \] 3. \( 2x^2 - 7x + 3 = 0 \) Ta giải phương trình bậc hai này bằng phương pháp phân tích thành nhân tử: \[ 2x^2 - 7x + 3 = 0 \] Ta tìm hai số \( a \) và \( b \) sao cho \( ab = 2 \times 3 = 6 \) và \( a + b = -7 \). Hai số này là \( -6 \) và \( -1 \): \[ 2x^2 - 6x - x + 3 = 0 \implies 2x(x - 3) - 1(x - 3) = 0 \implies (2x - 1)(x - 3) = 0 \] Từ đây, ta có: \[ 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \quad (\text{không thuộc } \mathbb{N}) \] \[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \] Bước 2: Kết hợp tất cả các giá trị \( x \) đã tìm được: \[ X = \{1, 2, 3\} \] Bước 3: Tính tổng \( S \) các phần tử của tập \( X \): \[ S = 1 + 2 + 3 = 6 \] Vậy tổng \( S \) các phần tử của tập \( X \) là 6.