Biểu diễn miền nghiệm hệ bpt cả 2 câu Tìm toạ độ các điểm và thay toạ độ điểm vào F(x;y)

Câu 80: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( L = y - x \) thỏa mãn hệ bất phương trình: \[ \begin{cases} 2x + 3y - 6 \leq 0 \\ x \geq 0 \\ 2x - 3y - 1 \leq 0 \end{cases} \] Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình 1. Bất phương trình \( 2x + 3y - 6 \leq 0 \) tương đương với \( 3y \leq -2x + 6 \) hay \( y \leq -\frac{2}{3}x + 2 \). 2. Bất phương trình \( 2x - 3y - 1 \leq 0 \) tương đương với \( 3y \geq 2x - 1 \) hay \( y \geq \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \). 3. Bất phương trình \( x \geq 0 \). Bước 2: Tìm giao điểm của các đường thẳng - Giao điểm của \( y = -\frac{2}{3}x + 2 \) và \( y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \): \[ -\frac{2}{3}x + 2 = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \] \[ 2 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}x \] \[ \frac{7}{3} = \frac{4}{3}x \Rightarrow x = \frac{7}{4} \] Thay \( x = \frac{7}{4} \) vào \( y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \): \[ y = \frac{2}{3} \times \frac{7}{4} - \frac{1}{3} = \frac{14}{12} - \frac{1}{3} = \frac{11}{12} \] Vậy giao điểm là \( \left( \frac{7}{4}, \frac{11}{12} \right) \). Bước 3: Xác định miền nghiệm Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh: - \( A(0, -\frac{1}{3}) \) từ \( y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \) khi \( x = 0 \). - \( B(0, 2) \) từ \( y = -\frac{2}{3}x + 2 \) khi \( x = 0 \). - \( C\left( \frac{7}{4}, \frac{11}{12} \right) \). Bước 4: Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( L = y - x \) 1. Tại \( A(0, -\frac{1}{3}) \), \( L = -\frac{1}{3} - 0 = -\frac{1}{3} \). 2. Tại \( B(0, 2) \), \( L = 2 - 0 = 2 \). 3. Tại \( C\left( \frac{7}{4}, \frac{11}{12} \right) \), \( L = \frac{11}{12} - \frac{7}{4} = \frac{11}{12} - \frac{21}{12} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6} \). Kết luận: - Giá trị lớn nhất của \( L \) là \( 2 \) tại điểm \( B(0, 2) \). - Giá trị nhỏ nhất của \( L \) là \(-\frac{5}{6}\) tại điểm \( C\left( \frac{7}{4}, \frac{11}{12} \right) \). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{B}~a=2\) và \(b=-\frac{5}{6}\). Tuy nhiên, không có đáp án nào khớp hoàn toàn với kết quả này. Có thể có lỗi trong đề bài hoặc đáp án. Câu 81: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( T = 3x + 2y \) dưới các ràng buộc: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y + 2 \geq 0 \\ 2x - y - 1 \leq 0 \\ 3x - y - 2 \geq 0 \end{array} \right. \] Bước 1: Viết lại các bất đẳng thức dưới dạng dễ quan sát hơn: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y \geq -2 \\ 2x - y \leq 1 \\ 3x - y \geq 2 \end{array} \right. \] Bước 2: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình này. Ta sẽ vẽ các đường thẳng tương ứng và xác định miền nằm trong cả ba bất phương trình. - Đường thẳng \( x - y = -2 \) - Đường thẳng \( 2x - y = 1 \) - Đường thẳng \( 3x - y = 2 \) Bước 3: Tìm giao điểm của các đường thẳng để xác định các đỉnh của miền nghiệm. - Giao điểm của \( x - y = -2 \) và \( 2x - y = 1 \): \[ \begin{cases} x - y = -2 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \] Trừ hai phương trình: \[ (2x - y) - (x - y) = 1 - (-2) \implies x = 3 \] Thay \( x = 3 \) vào \( x - y = -2 \): \[ 3 - y = -2 \implies y = 5 \] Giao điểm là \( (3, 5) \). - Giao điểm của \( 2x - y = 1 \) và \( 3x - y = 2 \): \[ \begin{cases} 2x - y = 1 \\ 3x - y = 2 \end{cases} \] Trừ hai phương trình: \[ (3x - y) - (2x - y) = 2 - 1 \implies x = 1 \] Thay \( x = 1 \) vào \( 2x - y = 1 \): \[ 2(1) - y = 1 \implies y = 1 \] Giao điểm là \( (1, 1) \). - Giao điểm của \( x - y = -2 \) và \( 3x - y = 2 \): \[ \begin{cases} x - y = -2 \\ 3x - y = 2 \end{cases} \] Trừ hai phương trình: \[ (3x - y) - (x - y) = 2 - (-2) \implies 2x = 4 \implies x = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào \( x - y = -2 \): \[ 2 - y = -2 \implies y = 4 \] Giao điểm là \( (2, 4) \). Bước 4: Kiểm tra giá trị của \( T = 3x + 2y \) tại các đỉnh của miền nghiệm: - Tại \( (3, 5) \): \[ T = 3(3) + 2(5) = 9 + 10 = 19 \] - Tại \( (1, 1) \): \[ T = 3(1) + 2(1) = 3 + 2 = 5 \] - Tại \( (2, 4) \): \[ T = 3(2) + 2(4) = 6 + 8 = 14 \] Bước 5: So sánh các giá trị của \( T \) để tìm giá trị lớn nhất: \[ T_{\text{max}} = 19 \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( T = 3x + 2y \) là 19, đạt được khi \( x = 3 \) và \( y = 5 \).