giải giúp mình

a) Ta có \( A = \{ k^2 - 1 | k \in \mathbb{Z}, |k| < 3 \} \) Ta thấy \( |k| < 3 \Leftrightarrow -3 < k < 3 \). Vì \( k \in \mathbb{Z} \) nên \( k \in \{-2; -1; 0; 1; 2\} \). Với \( k = -2 \) thì \( x = 1 \) \( f(1) = 1^3 + 1^3 - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 \) \( f(2) = 2^3 + 2^3 - 1 = 8 + 8 - 1 = 15 \) \( f(3) = 3^3 + 3^3 - 1 = 27 + 27 - 1 = 53 \) \( f(4) = 4^3 + 4^3 - 1 = 64 + 64 - 1 = 127 \) \( f(5) = 5^3 + 5^3 - 1 = 125 + 125 - 1 = 249 \) Như vậy, ta có: \( f(1) = 1 \) \( f(2) = 15 \) \( f(3) = 53 \) \( f(4) = 127 \) \( f(5) = 249 \) Do đó, tập hợp \( B \) là: \[ B = \{1, 15, 53, 127, 249\} \] Câu 4: Tập hợp A có thể được viết dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của nó như sau: \[ A = \{x | x = n^2 - 3, n \in \mathbb{Z}, n \geq -1\} \] Lập luận từng bước: - Ta thấy rằng các phần tử trong tập hợp A lần lượt là: \(-2, 1, 6, 13, ...\) - Ta nhận thấy rằng mỗi phần tử trong tập hợp này có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát của một cấp số cộng với công sai d = 2 và số hạng đầu tiên là 1. Câu 1: Tập hợp A có 3 phần tử. Một tập con của A có thể có từ 0 đến 3 phần tử. Ta sẽ đếm số tập con có từ 1 đến 3 phần tử. - Tập con có 1 phần tử: Có 3 tập con là {1}, {2}, {3}. - Tập con có 2 phần tử: Có 3 tập con là {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. - Tập con có 3 phần tử thì có bao nhiêu tập con? Tập con: Có 2^3=8 tập con của X = {1,2,3}. Tập con có 1 phần tử thì có bao nhiêu tập con? Tập con có 2 phần tử thì có bao nhiêu tập con? Tập con có 3 phần tử thì có bao nhiêu tập con? Có 3 tập con là {1, 2, 3}. Vậy tổng số tập con khác rỗng của A là: 3 + 3 + 1 = 7. Đáp án đúng là: B. 7. Câu 2: Để xác định ký hiệu nào trong các lựa chọn A, B, C, D chỉ rằng 3 là số tự nhiên, chúng ta cần hiểu rõ về các ký hiệu này: - Ký hiệu \( \in \) (thuộc): Chỉ ra rằng một phần tử thuộc một tập hợp. - Ký hiệu \( \notin \) (không thuộc): Chỉ ra rằng một phần tử không thuộc một tập hợp. - Ký hiệu \( = \) (bằng): Chỉ ra sự bằng nhau hoặc tương đương giữa hai đại lượng. - Khi so sánh hai vế của bất đẳng thức, nếu có thể, hãy biến đổi một vế thành vế còn lại. - Ký hiệu \( \subset \) (chứa): Chỉ ra rằng một tập hợp con nằm trong một tập hợp lớn hơn. Trong ngữ cảnh của câu hỏi: - Số tự nhiên \( \mathbb{N} \) là tập hợp các số nguyên dương và số 0 (tùy theo định nghĩa). Do đó, để chỉ rằng 3 là số tự nhiên, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu \( \in \): \[ 3 \in \mathbb{N} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~3 \in \mathbb{N}. \] Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta cần giải phương trình bậc hai \(3x^2 - 5x + 2 = 0\) và kiểm tra các nghiệm có thuộc tập hợp số hữu tỉ \(\mathbb{Q}\) hay không. Bước 1: Giải phương trình \(3x^2 - 5x + 2 = 0\). Phương trình \(3x^2 - 5x + 2 = 0\) có dạng tổng quát \(ax^2 + bx + c = 0\). Để giải phương trình bậc hai này, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \] Trong phương trình này, \(a = 3\), \(b = -5\), và \(c = 2\). Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1. \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình: \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}. \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1, \] \[ x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \] Bước 4: Kiểm tra các nghiệm có thuộc tập hợp số hữu tỉ \(\mathbb{Q}\) hay không. Cả hai nghiệm \(x_1 = 1\) và \(x_2 = \frac{2}{3}\) đều là số hữu tỉ. Bước 5: Xác định tập hợp \(A\): \[ A = \left\{ x \in \mathbb{Q} \mid 3x^2 - 5x + 2 = 0 \right\} = \left\{ 1, \frac{2}{3} \right\}. \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, chỉ có đáp án C gần đúng nhưng không hoàn toàn chính xác vì nó viết sai phân số \(\frac{2}{3}\) thành \(\frac{3}{2}\). Vậy, đáp án đúng là: \[ D.~A=\{1\}. \] Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên \( x \) sao cho biểu thức \((x^2 - 5x - 6)(2x - 3) = 0\). Bước 1: Giải phương trình \((x^2 - 5x - 6)(2x - 3) = 0\). Phương trình này sẽ bằng 0 nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0: \[ x^2 - 5x + m = 0 \] \[ \[ \] Câu 5: Để liệt kê các phần tử của tập $C=\{x\in\mathbb{N}|x^2+3x+2=0\},$ chúng ta cần giải phương trình $x^2 + 3x + 2 = 0$ và kiểm tra xem các nghiệm có thuộc tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$ hay không. Bước 1: Giải phương trình $x^2 + 3x + 2 = 0$. - Phương trình này có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\). Để giải phương trình bậc hai, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc công thức nghiệm. Phương trình $x^2 + 3x + 2 = 0$ có thể được phân tích thành: \[ x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) = 0 \] Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình. \[ (x + 1)(x + 2) = 0 \] \[ x + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 2 = 0 \] \[ x = -1 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Bước 3: Kiểm tra các nghiệm có thuộc tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$ hay không. - Số tự nhiên $\mathbb{N}$ bao gồm các số nguyên dương và số 0. - Các nghiệm tìm được là $x = -1$ và $x = -2$, đều là số âm và không thuộc tập hợp số tự nhiên. Do đó, không có bất kỳ nghiệm nào của phương trình $x^2 + 3x + 2 = 0$ thuộc tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$. Kết luận: Tập hợp $C$ không có phần tử nào, tức là $C = \emptyset$. Đáp án đúng là: $B.~C=\emptyset.$ Câu 6: Để liệt kê các phần tử của tập \( D = \{ x \in \mathbb{Z} \mid 2x^2 - 3x + 1 = 0 \} \), chúng ta cần giải phương trình \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \) và kiểm tra xem nghiệm nào thuộc tập hợp số nguyên \( \mathbb{Z} \). Bước 1: Giải phương trình \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \). Ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 2 \), \( b = -3 \), và \( c = 1 \). Bước 2: Tính biệt thức \( \Delta \): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình: \[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Bước 4: Kiểm tra xem nghiệm nào thuộc tập hợp số nguyên \( \mathbb{Z} \): - Nghiệm \( x_1 = 1 \) thuộc tập hợp số nguyên \( \mathbb{Z} \). - Nghiệm \( x_2 = \frac{1}{2} \) không thuộc tập hợp số nguyên \( \mathbb{Z} \). Vậy tập hợp \( D \) chỉ chứa nghiệm \( x = 1 \). Đáp án đúng là: \[ A.~D = \{1\} \] Câu 7: Để liệt kê các phần tử của tập \( E = \{ x \in \mathbb{Q} | (3x^2 - 5x + 2)(2x^2 - 8) = 0 \} \), ta cần giải phương trình \((3x^2 - 5x + 2)(2x^2 - 8) = 0\). Phương trình này sẽ thỏa mãn nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0. Ta lần lượt xét các trường hợp sau: 1. Nếu \( x = 0 \): - \( y = 0 \) - \( y = 0 \) 2. Nếu \( x > 0 \): - \( y = 0 \) - \( y = 0 \) 3. Nếu \( x < 0 \): - \( y = 0 \) - \( y = 0 \) Từ đó, ta thấy rằng \( y = 0 \) trong mọi trường hợp. Do đó, \( y = 0 \) là giá trị duy nhất mà biểu thức đạt được. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( y = |x| - x \) là 0, đạt được khi \( x \leq 0 \). Câu 8: Để tìm số phần tử của tập hợp \( A = \{ n^2 - 1 \mid n \in \mathbb{Z}, |n| < 4 \} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các giá trị nguyên \( n \) thỏa mãn điều kiện \( |n| < 4 \): \[ |n| < 4 \implies -4 < n < 4 \] Các giá trị nguyên của \( n \) là \( -3, -2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \). 2. Tính giá trị của \( n^2 - 1 \) cho mỗi giá trị \( n \) đã tìm được: \[ \begin{align} n = -3 & \implies (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \\ n = -2 & \implies (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \\ n = -1 & \implies (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \\ n = 0 & \implies 0^2 - 1 = 0 - 1 = -1 \\ n = 1 & \implies 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \\ n = 2 & \implies 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \\ n = 3 & \implies 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \\ \end{align} \] 3. Liệt kê các giá trị khác nhau của \( n^2 - 1 \): \[ \{ 8, 3, 0, -1 \} \] 4. Đếm số phần tử trong tập hợp này: \[ \text{Tập hợp } A \text{ có các phần tử là } \{ -1, 0, 3, 8 \} \] Số phần tử của tập hợp \( A \) là 4. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D. 4} \] Câu 9: Để xác định tập hợp nào trong các tập hợp A, B, C, D là tập rỗng, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương trình trong mỗi tập hợp để xem liệu có nghiệm thuộc tập hợp số đã cho hay không. Tập hợp A: \( \{x \in \mathbb{N} | 3x^2 - 4x + 1 = 0\} \) Giải phương trình \( 3x^2 - 4x + 1 = 0 \): \( \Delta = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5 \) Phương trình này có hai nghiệm thực: \( x_1 = \frac{4 + \sqrt{5}}{6} \) \( x_2 = \frac{4 - \sqrt{5}}{6} \) Cả hai nghiệm đều không phải là số tự nhiên (\(\mathbb{N}\)), do đó tập hợp A là tập rỗng. Tập hợp B: \( \{x \in \mathbb{Z} | |x| < 1\} \) Điều kiện \( |x| < 1 \) có nghĩa là \( -1 < x < 1 \). Số nguyên duy nhất thỏa mãn điều kiện này là \( x = 0 \). Do đó, tập hợp B không phải là tập rỗng. Tập hợp C: \( \{x \in \mathbb{Q} | x^2 - 4x + 1 = 0\} \) Giải phương trình \( x^2 - 4x + 1 = 0 \): \( \Delta = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12 \) Phương trình này có hai nghiệm thực: \( x_1 = \frac{4 + \sqrt{12}}{2} = 2 + \sqrt{3} \) \( x_2 = \frac{4 - \sqrt{12}}{2} = 2 - \sqrt{3} \) Cả hai nghiệm đều không phải là số hữu tỉ (\(\mathbb{Q}\)), do đó tập hợp C là tập rỗng. Tập hợp D: \( \{x \in \mathbb{Z} | 5x^2 + 7x + 2 = 0\} \) Giải phương trình \( 5x^2 + 7x + 2 = 0 \): \( \Delta = 7^2 - 4(5)(2) = 49 - 40 = 9 \) Phương trình này có hai nghiệm thực: \( x_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{10} = \frac{-7 + 3}{10} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5} \) \( x_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{10} = \frac{-7 - 3}{10} = -\frac{10}{10} = -1 \) Nghiệm \( x_2 = -1 \) là số nguyên (\(\mathbb{Z}\)), do đó tập hợp D không phải là tập rỗng. Kết luận: - Tập hợp A là tập rỗng. - Tập hợp B không phải là tập rỗng. - Tập hợp C là tập rỗng. - Tập hợp D không phải là tập rỗng. Vậy, các tập hợp rỗng là A và C. Câu 10: Để xác định tập hợp nào trong các tập hợp đã cho là tập rỗng, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương trình trong mỗi tập hợp để xem liệu có nghiệm thuộc tập hợp số tương ứng hay không. A. Tập hợp \( A = \{x \in \mathbb{N} | x^2 + 4x = 0\} \) Giải phương trình: \[ x^2 + 4x = 0 \] \[ x(x + 4) = 0 \] \[ x = \frac{-1}{2} \] Solve for \( y \): \[ \sqrt{2} y - \frac{1}{2} = 0 \] \[ \sqrt{2} y = \frac{1}{2} \] \[ y = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \] Thus, the solution to the system of equations is: \[ x = \frac{-1}{2}, \quad y = \frac{\sqrt{2}}{4} \] The final solution is: \[ \boxed{x = \frac{-1}{2}, y = \frac{\sqrt{2}}{4}} \] Câu 11: Ta sẽ kiểm tra từng tập hợp để xác định tập nào khác rỗng. A. Tập hợp \( A = \{x \in \mathbb{R} | x^2 + 2x + 15 = 0\} \) Xét phương trình \( x^2 + 2x + 15 = 0 \): - Tính biệt thức \( \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 - 60 = -56 \) - Vì \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \) nên \( \sin(\alpha) \leq 1 \) và \( \cos(\alpha) \leq 1 \). Do đó, \( \sin(\alpha) + \cos(\alpha) \leq 2 \). Tuy nhiên, ta thấy rằng \( \Delta < 0 \), do đó phương trình này không có nghiệm thực. Vậy tập hợp \( A \) là tập rỗng. B. Tập hợp \( B = \{x \in \mathbb{R} | x^2(x^2 + 3) = 0\} \) Xét phương trình \( x^2(x^2 + 3) = 0 \): - Ta có \( x^2 = 0 \) hoặc \( x^2 + 3 = 0 \). - Từ \( x^2 = 0 \) suy ra \( x = 0 \). - Từ \( x^2 + 3 = 0 \) suy ra \( x^2 = -3 \), nhưng \( x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), do đó phương trình này không có nghiệm thực. Vậy tập hợp \( B \) có nghiệm \( x = 0 \), tức là tập hợp \( B \) khác rỗng. C. Tập hợp \( C = \{x \in \mathbb{Z} | (x^2 - 2)(x^2 + 4) = 0\} \) Xét phương trình \( (x^2 - 2)(x^2 + 4) = 0 \): - Ta có \( x^2 - 2 = 0 \) hoặc \( x^2 + 4 = 0 \). - Từ \( x^2 - 2 = 0 \) suy ra \( x^2 = 2 \), nhưng \( x \) phải là số nguyên, do đó phương trình này không có nghiệm nguyên. - Từ \( x^2 + 4 = 0 \) suy ra \( x^2 = -4 \), nhưng \( x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{Z} \), do đó phương trình này không có nghiệm nguyên. Vậy tập hợp \( C \) là tập rỗng. D. Tập hợp \( D = \{x \in \mathbb{Q} | 2x^2 - 6 = 0\} \) Xét phương trình \( 2x^2 - 6 = 0 \): - Ta có \( 2x^2 = 6 \) suy ra \( x^2 = 3 \). - Nhưng \( x \) phải là số hữu tỉ, do đó phương trình này không có nghiệm hữu tỉ. Vậy tập hợp \( D \) là tập rỗng. Kết luận: Tập hợp khác rỗng là tập hợp \( B \). Đáp án: \( B \) Câu 12: Tập A có 4 phần tử. Số tập con có hai phần tử của tập A là tổ hợp chập 2 của 4, ký hiệu là $C_4^2$. Ta có: \[ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] Vậy tập A có 6 tập con có hai phần tử. Đáp án đúng là: Giá trị lớn nhất của biểu thức đạt được khi \( x = 2 \). Đáp án: Giá trị lớn nhất của biểu thức là 5, đạt được khi \( x = 2 \). Câu 13: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần tính toán số lượng các tập con của tập hợp \( A = \{2, 4, 6, 8, 10\} \). Câu A: Số tập con của A chứa 1 số 2 là 4. - Tập hợp \( A \) có 5 phần tử: \( \{2, 4, 6, 8, 10\} \). - Để tạo ra các tập hợp con của \( S \) thỏa mãn điều kiện đã cho, ta sẽ chọn 1 trong 3 số còn lại và 1 số chia hết cho 3. - Ta thấy rằng nếu một tập con chứa số 2, thì các phần tử còn lại có thể là bất kỳ phần tử nào trong tập \( \{4, 6, 8, 10\} \). - Số lượng các tập con của \( \{4, 6, 8, 10\} \) là \( 2^4 = 16 \). Do đó, câu A là sai vì số tập con của \( A \) chứa số 2 là 16, không phải 4. Câu B: Số tập con của A gồm có 2 phần tử là 9. - Số lượng các tập con có 2 phần tử của \( A \) được tính bằng tổ hợp \( \binom{5}{2} \): \[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] Do đó, câu B là sai vì số tập con của \( A \) gồm có 2 phần tử là 10, không phải 9. Đáp án: Cả hai câu A và B đều sai.