giải giúp mình

Câu 23: Để xác định tập hợp nào trong các tập hợp đã cho có đúng một tập hợp con, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng tập hợp. A. Tập hợp $\emptyset$: - Tập hợp rỗng $\emptyset$ không có bất kỳ phần tử nào. - Tập hợp con duy nhất của $\emptyset$ là chính nó, tức là $\emptyset$. - Vậy $\emptyset$ có đúng một tập hợp con là $\emptyset$. B. Tập hợp $\{1\}$: - Tập hợp $\{1\}$ có một phần tử là 1. - Các tập hợp con của $\{1\}$ là $\emptyset$ và $\{1\}$. - Vậy $\{1\}$ có hai tập hợp con là $\emptyset$ và $\{1\}$. C. Tập hợp $\{\emptyset\}$: - Tập hợp $\{\emptyset\}$ có một phần tử là $\emptyset$. - Các tập hợp con của $\{\emptyset\}$ là $\emptyset$ và $\{\emptyset\}$. - Vậy $\{\emptyset\}$ có hai tập hợp con là $\emptyset$ và $\{\emptyset\}$. D. Tập hợp $\{\emptyset; 1\}$: - Tập hợp $\{\emptyset; 1\}$ có hai phần tử là $\emptyset$ và 1. - Các tập hợp con của $\{\emptyset; 1\}$ là $\emptyset$, $\{\emptyset\}$, $\{1\}$, và $\{\emptyset; 1\}$. - Vậy $\{\emptyset; 1\}$ có bốn tập hợp con là $\emptyset$, $\{\emptyset\}$, $\{1\}$, và $\{\emptyset; 1\}$. Từ các lập luận trên, tập hợp có đúng một tập hợp con là tập hợp $\emptyset$. Đáp án: A. $\emptyset$. Câu 24: Để xác định tập hợp nào trong các tập hợp đã cho có đúng hai tập hợp con, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng tập hợp. A. Tập hợp $\emptyset$: - Tập hợp rỗng $\emptyset$ không có bất kỳ phần tử nào. - Số tập hợp con của $\emptyset$ là 1 (chính là $\emptyset$). - Vậy $\emptyset$ không có đúng hai tập hợp con. B. Tập hợp $\{1\}$: - Tập hợp $\{1\}$ có 1 phần tử là 1. - Các tập hợp con của $\{1\}$ là $\emptyset$ và $\{1\}$. - Vậy $\{1\}$ có đúng hai tập hợp con. C. Tập hợp $\{\emptyset\}$: - Tập hợp $\{\emptyset\}$ có 1 phần tử là $\emptyset$. - Các tập hợp con của $\{\emptyset\}$ là $\emptyset$ và $\{\emptyset\}$. - Vậy $\{\emptyset\}$ có đúng hai tập hợp con. D. Tập hợp $\{\emptyset; 1\}$: - Tập hợp $\{\emptyset; 1\}$ có 2 phần tử là $\emptyset$ và 1. - Số tập hợp con của một tập hợp có n phần tử là $2^n$. Với n = 2, số tập hợp con là $2^2 = 4$. - Các tập hợp con của $\{\emptyset; 1\}$ là $\emptyset$, $\{\emptyset\}$, $\{1\}$, và $\{\emptyset; 1\}$. - Vậy $\{\emptyset; 1\}$ có 4 tập hợp con, không phải đúng hai tập hợp con. Tóm lại, trong các tập hợp đã cho, tập hợp có đúng hai tập hợp con là: B. $\{1\}$ và C. $\{\emptyset\}$. Do đó, đáp án đúng là: B. $\{1\}$ hoặc C. $\{\emptyset\}$. Câu 25: Để xác định tập hợp nào trong các tập hợp đã cho có đúng hai tập hợp con, chúng ta sẽ liệt kê tất cả các tập hợp con của mỗi tập hợp và đếm số lượng của chúng. A. Tập hợp $\{x; y\}$: - Các tập hợp con của $\{x; y\}$ là: $\{\}, \{x\}, \{y\}, \{x; y\}$. - Số lượng tập hợp con: 4. B. Tập hợp $\{x\}$: - Các tập hợp con của $\{x\}$ là: $\{\}, \{x\}$. - Số lượng tập hợp con: 2. C. Tập hợp $\{\emptyset; x\}$: - Các tập hợp con của $\{\emptyset; x\}$ là: $\{\}, \{\emptyset\}, \{x\}, \{\emptyset; x\}$. - Số lượng tập hợp con: 4. D. Tập hợp $\{\emptyset; x; y\}$: - Các tập hợp con của $\{\emptyset; x; y\}$ là: $\{\}, \{\emptyset\}, \{x\}, \{y\}, \{\emptyset; x\}, \{\emptyset; y\}, \{x; y\}, \{\emptyset; x; y\}$. - Số lượng tập hợp con: 8. Từ các lập luận trên, tập hợp có đúng hai tập hợp con là tập hợp $\{x\}$. Đáp án: B. $\{x\}$. Câu 26: Để tìm số lượng tập con X thỏa mãn điều kiện \( A \subset X \subset B \), chúng ta cần xem xét các phần tử trong tập B nhưng không nằm trong tập A. Tập B có các phần tử là \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) và tập A có các phần tử là \(\{1, 2, 3\}\). Như vậy, các phần tử trong B nhưng không nằm trong A là \(\{4, 5\}\). Mỗi phần tử này có thể hoặc không nằm trong tập X. Do đó, mỗi phần tử có 2 khả năng: hoặc nằm trong X hoặc không nằm trong X. Số lượng tập con X có thể tạo ra từ các phần tử \(\{4, 5\}\) là: \[ 2^2 = 4 \] Vậy có tất cả 4 tập con X thỏa mãn điều kiện \( A \subset X \subset B \). Đáp án đúng là: A. 4. Câu 27: Để tìm các tập con \( X \) thỏa mãn \( X \subset A \) và \( X \subset B \), ta cần xác định các phần tử chung của hai tập hợp \( A \) và \( B \). Các phần tử chung của \( A \) và \( B \) là: \[ A \cap B = \{1, 2\} \] Do đó, các tập con \( X \) phải là các tập con của \( \{1, 2\} \). Các tập con của \( \{1, 2\} \) là: \[ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \] Như vậy, có tất cả 4 tập con \( X \) thỏa mãn điều kiện \( X \subset A \) và \( X \subset B \). Đáp án đúng là: D. 4. Câu 28: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề A, B, C và D. Kiểm tra Mệnh đề A: \( M \subset N \) - Tập hợp \( M \) là các số tự nhiên là bội số của 2: \( M = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, \ldots\} \). - Tập hợp \( N \) là các số tự nhiên là bội số của 6: \( N = \{6, 12, 18, 24, \ldots\} \). Rõ ràng, không phải tất cả các phần tử của \( M \) đều thuộc \( N \). Ví dụ, 2 và 4 thuộc \( M \) nhưng không thuộc \( N \). Do đó, mệnh đề \( M \subset N \) là sai. Kiểm tra Mệnh đề B: \( N \subset M \) - Tập hợp \( N \) là các số tự nhiên là bội số của 6: \( N = \{6, 12, 18, 24, \ldots\} \). - Tập hợp \( M \) là các số tự nhiên là bội số của 2: \( M = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, \ldots\} \). Tất cả các phần tử của \( N \) đều là bội số của 2, do đó tất cả các phần tử của \( N \) đều thuộc \( M \). Do đó, mệnh đề \( N \subset M \) là đúng. Kiểm tra Mệnh đề C: \( P = Q \) - Tập hợp \( P \) là các số tự nhiên là ước số của 2: \( P = \{1, 2\} \). - Tập hợp \( Q \) là các số tự nhiên là ước số của 6: \( Q = \{1, 2, 3, 6\} \). Rõ ràng, \( P \neq Q \) vì \( Q \) có thêm các phần tử 3 và 6 mà \( P \) không có. Do đó, mệnh đề \( P = Q \) là sai. Kiểm tra Mệnh đề D: \( Q \subset P \) - Tập hợp \( Q \) là các số tự nhiên là ước số của 6: \( Q = \{1, 2, 3, 6\} \). - Tập hợp \( P \) là các số tự nhiên là ước số của 2: \( P = \{1, 2\} \). Không phải tất cả các phần tử của \( Q \) đều thuộc \( P \). Ví dụ, 3 và 6 thuộc \( Q \) nhưng không thuộc \( P \). Do đó, mệnh đề \( Q \subset P \) là sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là \( B.~N \subset M \). Đáp án: \( B.~N \subset M \). Câu 29: Ta có: - \( E \subset F \) nghĩa là mọi phần tử của E đều thuộc F. - \( F \subset G \) nghĩa là mọi phần tử của F đều thuộc G. - \( G \subset E \) nghĩa là mọi phần tử của G đều thuộc E. Từ \( E \subset F \) và \( F \subset G \), suy ra \( E \subset G \). Từ \( G \subset E \), suy ra \( G \subset E \). Do đó, ta có \( E \subset G \) và \( G \subset E \). Điều này có nghĩa là E và G có cùng các phần tử, tức là \( E = G \). Tương tự, từ \( F \subset G \) và \( G \subset E \), suy ra \( F \subset E \). Từ \( E \subset F \), suy ra \( E \subset F \). Do đó, ta có \( F \subset E \) và \( E \subset F \). Điều này có nghĩa là F và E có cùng các phần tử, tức là \( E = F \). Vậy, từ các lập luận trên, ta có \( E = F = G \). Đáp án đúng là: \( D.~E=F=G \). Câu 30: Để ba tập hợp \( A = \{2; 5\} \), \( B = \{5; x\} \), và \( C = \{x; y; 5\} \) bằng nhau, chúng ta cần đảm bảo rằng tất cả các phần tử trong mỗi tập hợp đều giống nhau. 1. Tập hợp \( A \) có các phần tử là \( 2 \) và \( 5 \). 2. Tập hợp \( B \) có các phần tử là \( 5 \) và \( x \). Để \( B \) bằng \( A \), \( x \) phải là \( 2 \) vì \( 5 \) đã có trong \( A \). Vậy \( x = 2 \). 3. Tập hợp \( C \) có các phần tử là \( x \), \( y \), và \( 5 \). Để \( C \) bằng \( A \) và \( B \), \( x \) phải là \( 2 \) và \( y \) cũng phải là \( 2 \) vì \( 5 \) đã có trong \( A \) và \( B \). Vậy \( y = 2 \). Do đó, để ba tập hợp \( A \), \( B \), và \( C \) bằng nhau, ta có: \[ x = 2 \] \[ y = 2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~x = y = 2 \] Câu 1: a/ Ta có \( k \in \{-2; -1; 0; 1; 2\} \) \( k = -2 \Rightarrow k^2 - 1 = 3 \) \( k = -1 \Rightarrow k^2 - 1 = 0 \) \( k = 0 \Rightarrow k^2 - 1 = -1 \) \( k = 1 \Rightarrow k^2 - 1 = 0 \) \( k = 2 \Rightarrow k^2 - 1 = 3 \) Vậy \( A = \{-1; 0; 3\} \) b/ Ta có \( x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -1 \) \( x^2 - 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 - 6 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^2 = 6 \) \( \Leftrightarrow |x - 1| = \sqrt{6} \Leftrightarrow x - 1 = \sqrt{6} \) hoặc \( x - 1 = -\sqrt{6} \) \( \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt{6} \) hoặc \( x = 1 - \sqrt{6} \) Vậy \( B = \{-1; 1 - \sqrt{6}; 1 + \sqrt{6}\} \) Câu 2: Tập hợp A có thể được viết dưới dạng: \[ A = \{x | x = n^2 - 3, n \in \mathbb{Z}, n \geq -1\} \] Lập luận từng bước: - Số đầu tiên trong tập hợp A là -2, ta có thể thấy rằng nếu lấy \(n = -1\) thì \(n^2 - 3 = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2\). - Số tiếp theo là 1, ta có thể thấy rằng nếu lấy \(n = 0\) thì \(n^2 - 3 = 0^2 - 3 = 0 - 3 = -3\). Tuy nhiên, đây không phải là số tiếp theo trong tập hợp A. Do đó, ta cần kiểm tra lại. - Số tiếp theo là 6, ta có thể thấy rằng nếu lấy \(n = 1\) thì \(n^2 - 3 = 1^2 - 3 = 1 - 3 = -2\). Tuy nhiên, đây cũng không phải là số tiếp theo trong tập hợp A. Do đó, ta cần kiểm tra lại. - Số tiếp theo là 13, ta có thể thấy rằng nếu lấy \(n = 2\) thì \(n^2 - 3 = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1\). Tuy nhiên, đây cũng không phải là số tiếp theo trong tập hợp A. Do đó, ta cần kiểm tra lại. Do đó, ta có thể thấy rằng tập hợp A có thể được viết dưới dạng: \[ A = \{x | x = n^2 - 3, n \in \mathbb{Z}, n \geq -1\} \]