giải giúp mình với ạ (như vở học sinh)

Bài 26: Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 4 \). Ta có: \[ P = \frac{\sqrt{x} + \frac{1}{2}}{\sqrt{x} - 2}. \] Nhân tử và mẫu số của \( P \) với \( \sqrt{x} + 2 \): \[ P = \frac{\left( \sqrt{x} + \frac{1}{2} \right)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}. \] Rút gọn mẫu số: \[ (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4. \] Rút gọn tử số: \[ \left( \sqrt{x} + \frac{1}{2} \right)(\sqrt{x} + 2) = x + 2\sqrt{x} + \frac{1}{2}\sqrt{x} + 1 = x + \frac{5}{2}\sqrt{x} + 1. \] Do đó: \[ P = \frac{x + \frac{5}{2}\sqrt{x} + 1}{x - 4}. \] Bây giờ ta so sánh \( P \) và \( P^2 \): \[ P^2 = \left( \frac{\sqrt{x} + \frac{1}{2}}{\sqrt{x} - 2} \right)^2. \] Nhân tử và mẫu số của \( P^2 \) với \( (\sqrt{x} + 2)^2 \): \[ P^2 = \frac{\left( \sqrt{x} + \frac{1}{2} \right)^2 (\sqrt{x} + 2)^2}{(\sqrt{x} - 2)^2 (\sqrt{x} + 2)^2}. \] Rút gọn mẫu số: \[ (\sqrt{x} - 2)^2 (\sqrt{x} + 2)^2 = (x - 4)^2. \] Rút gọn tử số: \[ \left( \sqrt{x} + \frac{1}{2} \right)^2 (\sqrt{x} + 2)^2 = \left( x + \sqrt{x} + \frac{1}{4} \right) \left( x + 4\sqrt{x} + 4 \right). \] Do đó: \[ P^2 = \frac{\left( x + \sqrt{x} + \frac{1}{4} \right) \left( x + 4\sqrt{x} + 4 \right)}{(x - 4)^2}. \] So sánh \( P \) và \( P^2 \): \[ P = \frac{x + \frac{5}{2}\sqrt{x} + 1}{x - 4}, \] \[ P^2 = \frac{\left( x + \sqrt{x} + \frac{1}{4} \right) \left( x + 4\sqrt{x} + 4 \right)}{(x - 4)^2}. \] Từ đây, ta thấy rằng \( P^2 \) luôn lớn hơn \( P \) vì \( P^2 \) là bình phương của \( P \) và \( P \) có thể âm hoặc dương tùy thuộc vào giá trị của \( x \). Vậy, \( P^2 \) luôn lớn hơn \( P \). Bài 27: Điều kiện xác định: \( x > 0 \) Biểu thức \( P = \frac{\sqrt{x} - 2}{x} \) xác định khi \( x > 0 \). Ta xét biểu thức \( \sqrt{P} \): \[ \sqrt{P} = \sqrt{\frac{\sqrt{x} - 2}{x}} \] Để \( \sqrt{P} \) xác định, ta cần: \[ \frac{\sqrt{x} - 2}{x} \geq 0 \] \[ \sqrt{x} - 2 \geq 0 \] \[ \sqrt{x} \geq 2 \] \[ x \geq 4 \] Vậy điều kiện để \( \sqrt{P} \) xác định là \( x \geq 4 \). Bây giờ, ta so sánh \( \sqrt{P} \) và \( P \): \[ \sqrt{P} = \sqrt{\frac{\sqrt{x} - 2}{x}} \] \[ P = \frac{\sqrt{x} - 2}{x} \] Ta thấy rằng \( \sqrt{P} \) là căn bậc hai của \( P \), do đó \( \sqrt{P} \geq 0 \) và \( P \) có thể âm hoặc dương tùy thuộc vào giá trị của \( x \). Khi \( x \geq 4 \), ta có: \[ \sqrt{x} \geq 2 \] \[ \sqrt{x} - 2 \geq 0 \] \[ \frac{\sqrt{x} - 2}{x} \geq 0 \] Do đó, \( P \geq 0 \) và \( \sqrt{P} \geq 0 \). Tuy nhiên, \( \sqrt{P} \) luôn lớn hơn hoặc bằng \( P \) vì \( \sqrt{P} \) là căn bậc hai của \( P \). Vậy, \( \sqrt{P} \geq P \) khi \( x \geq 4 \).