Giúp mình với!

Câu 1: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a): $NP^2 = MN^2 + MP^2 - 2 \cdot MN \cdot MP \cdot \cos M.$ Áp dụng định lý cosin cho tam giác $MNP$, ta có: \[ NP^2 = MN^2 + MP^2 - 2 \cdot MN \cdot MP \cdot \cos M \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ NP^2 = 13^2 + 10^2 - 2 \cdot 13 \cdot 10 \cdot \frac{5}{13} \] \[ = 169 + 100 - 2 \cdot 13 \cdot 10 \cdot \frac{5}{13} \] \[ = 169 + 100 - 100 \] \[ = 169 \] Vậy, $NP^2 = 169$, do đó khẳng định a) là đúng. Khẳng định b): Tam giác $MNP$ cân tại $M$. Tam giác cân tại $M$ nghĩa là $MN = MP$. Tuy nhiên, $MN = 13$ và $MP = 10$, do đó $MN \neq MP$. Vậy tam giác $MNP$ không cân tại $M$. Khẳng định b) là sai. Khẳng định c): $\cos N = \frac{238}{169}$. Ta biết rằng trong tam giác $MNP$, tổng các góc bằng $180^\circ$. Do đó, $\cos N$ có thể được tính bằng định lý cosin: \[ \cos N = \frac{MP^2 + NP^2 - MN^2}{2 \cdot MP \cdot NP} \] Từ khẳng định a), ta đã tính được $NP^2 = 169$, do đó $NP = 13$. Thay vào công thức: \[ \cos N = \frac{10^2 + 13^2 - 13^2}{2 \cdot 10 \cdot 13} \] \[ = \frac{100}{260} \] \[ = \frac{5}{13} \] Khẳng định c) là sai vì $\cos N = \frac{5}{13}$, không phải $\frac{238}{169}$. Khẳng định d): Tổng bình phương độ dài ba trung tuyến trong $\Delta MNP$ bằng $\frac{657}{2}$. Công thức tính tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác $MNP$ là: \[ m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2) \] Với $a = 13$, $b = 10$, $c = 13$, ta có: \[ m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(13^2 + 10^2 + 13^2) \] \[ = \frac{3}{4}(169 + 100 + 169) \] \[ = \frac{3}{4} \times 438 \] \[ = \frac{1314}{4} \] \[ = \frac{657}{2} \] Khẳng định d) là đúng. Tóm lại: - Khẳng định a) đúng. - Khẳng định b) sai. - Khẳng định c) sai. - Khẳng định d) đúng. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ xem xét từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a): \(\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}\). Đây là công thức cosin cho góc \(A\) trong tam giác \(ABC\). Công thức này là đúng và được sử dụng để tính \(\cos A\) trong tam giác bất kỳ. Do đó, khẳng định a) là đúng. Khẳng định b): Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Vì tỉ lệ độ dài các cạnh là \(AB:AC:BC = 3:4:5\), đây là một tỉ lệ nổi tiếng của tam giác vuông, cụ thể là tam giác vuông có các cạnh tỉ lệ 3-4-5. Do đó, tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\). Khẳng định b) là đúng. Khẳng định c): Độ dài cạnh \(BC\) bằng 25. Vì tam giác \(ABC\) có tỉ lệ các cạnh là \(3:4:5\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp là 25, ta có thể sử dụng công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác vuông: \(R = \frac{c}{2}\), trong đó \(c\) là cạnh huyền. Do đó, \(BC = 2R = 2 \times 25 = 50\). Khẳng định c) là sai. Khẳng định d): Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Độ dài đoạn thẳng \(BG\) bằng \(\frac{20\sqrt{13}}{3}\). Trọng tâm \(G\) của tam giác chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần với tỉ lệ \(2:1\). Để tính \(BG\), trước tiên ta cần tính độ dài đường trung tuyến từ \(B\) đến cạnh \(AC\). Sử dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác vuông: \[ m_a = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}} \] Với \(a = BC = 50\), \(b = AC = 40\), \(c = AB = 30\), ta có: \[ m_a = \sqrt{\frac{2 \times 40^2 + 2 \times 30^2 - 50^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \times 1600 + 2 \times 900 - 2500}{4}} = \sqrt{\frac{3200 + 1800 - 2500}{4}} = \sqrt{\frac{2500}{4}} = \sqrt{625} = 25 \] Vì \(G\) chia đường trung tuyến \(m_a\) theo tỉ lệ \(2:1\), ta có: \[ BG = \frac{2}{3} \times 25 = \frac{50}{3} \] Khẳng định d) là sai. Độ dài đoạn thẳng \(BG\) là \(\frac{50}{3}\), không phải \(\frac{20\sqrt{13}}{3}\). Tóm lại: - Khẳng định a) đúng. - Khẳng định b) đúng. - Khẳng định c) sai. - Khẳng định d) sai. Câu 3: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định một. Khẳng định a): \( AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos A \). Theo định lý cosin, ta có: \[ AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos A. \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ 5^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos A. \] Tính toán: \[ 25 = 49 + 64 - 112 \cdot \cos A. \] \[ 25 = 113 - 112 \cdot \cos A. \] \[ 112 \cdot \cos A = 113 - 25. \] \[ 112 \cdot \cos A = 88. \] \[ \cos A = \frac{88}{112} = \frac{11}{14}. \] Khẳng định a) là đúng. Khẳng định b): Số đo góc \(\widehat{A}\) bằng \(30^\circ\). Ta đã tìm được \(\cos A = \frac{11}{14}\). Để \(\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}\) (tương ứng với góc \(30^\circ\)), điều này không đúng vì \(\frac{11}{14} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}\). Khẳng định b) là sai. Khẳng định c): Độ dài đường trung tuyến từ đỉnh A trong \(\Delta ABC\) là \(\sqrt{129}\). Công thức tính độ dài đường trung tuyến \(m_a\) từ đỉnh \(A\) là: \[ m_a = \sqrt{\frac{2BC^2 + 2AC^2 - AB^2}{4}}. \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ m_a = \sqrt{\frac{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 8^2 - 5^2}{4}}. \] \[ m_a = \sqrt{\frac{2 \cdot 49 + 2 \cdot 64 - 25}{4}}. \] \[ m_a = \sqrt{\frac{98 + 128 - 25}{4}}. \] \[ m_a = \sqrt{\frac{201}{4}}. \] \[ m_a = \sqrt{50.25}. \] Khẳng định c) là sai vì \(\sqrt{50.25} \neq \sqrt{129}\). Khẳng định d): Điểm M thuộc đoạn BC sao cho \(MC = 2MB\). Độ dài cạnh AM bằng \(\frac{2\sqrt{61}}{3}\). Gọi \(MB = x\), khi đó \(MC = 2x\) và \(MB + MC = BC = 7\), suy ra: \[ x + 2x = 7 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{3}. \] Vậy \(MB = \frac{7}{3}\) và \(MC = \frac{14}{3}\). Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng AM trong tam giác: \[ AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{3} + \frac{MB^2 \cdot AC^2 + MC^2 \cdot AB^2}{BC^2}. \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ AM^2 = \frac{2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 8^2 - 7^2}{3} + \frac{\left(\frac{7}{3}\right)^2 \cdot 8^2 + \left(\frac{14}{3}\right)^2 \cdot 5^2}{7^2}. \] Tính toán: \[ AM^2 = \frac{2 \cdot 25 + 2 \cdot 64 - 49}{3} + \frac{\frac{49}{9} \cdot 64 + \frac{196}{9} \cdot 25}{49}. \] \[ AM^2 = \frac{50 + 128 - 49}{3} + \frac{\frac{3136}{9} + \frac{4900}{9}}{49}. \] \[ AM^2 = \frac{129}{3} + \frac{8036}{441}. \] \[ AM^2 = 43 + \frac{8036}{441}. \] \[ AM^2 = 43 + \frac{8036}{441}. \] \[ AM^2 = \frac{18963 + 8036}{441}. \] \[ AM^2 = \frac{26999}{441}. \] \[ AM = \sqrt{\frac{26999}{441}}. \] Khẳng định d) là sai vì \(\frac{2\sqrt{61}}{3} \neq \sqrt{\frac{26999}{441}}\). Tóm lại: - Khẳng định a) đúng. - Khẳng định b) sai. - Khẳng định c) sai. - Khẳng định d) sai. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ xem xét từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a): Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM là $\sqrt{2}$. Để tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM, ta sử dụng công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác với các cạnh $a$, $b$, $c$ và góc đối diện $\angle C$ là $R = \frac{abc}{4K}$, trong đó $K$ là diện tích tam giác. Trước tiên, ta cần tính độ dài cạnh $AM$. Sử dụng định lý cosin trong tam giác $ABM$: \[ AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos\widehat{AMB} \] Vì $M$ là trung điểm của $BC$, nên $BM = \frac{BC}{2} = 4$. Thay vào công thức: \[ AM^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{5\sqrt{13}}{26} \] \[ AM^2 = 9 + 16 - \frac{120\sqrt{13}}{26} \] \[ AM^2 = 25 - \frac{60\sqrt{13}}{26} \] Tính toán này phức tạp, nhưng ta có thể thấy rằng $AM$ không thể là một số đơn giản như $\sqrt{2}$, do đó khẳng định này có thể sai. Tuy nhiên, để chắc chắn, ta cần tính toán chính xác hơn hoặc sử dụng một phương pháp khác để xác định $R$. Khẳng định b): Giá trị $\cos\widehat{AMC}=\frac{5\sqrt{13}}{26}$. Vì $M$ là trung điểm của $BC$, tam giác $AMB$ và $AMC$ có cùng độ dài cạnh $AM$ và $MC = MB$. Do đó, $\angle AMB = \angle AMC$. Vậy $\cos\widehat{AMC} = \cos\widehat{AMB} = \frac{5\sqrt{13}}{26}$. Khẳng định này đúng. Khẳng định c): Độ dài đoạn $AM$ bằng $\sqrt{13}$ hoặc $x=\frac{7\sqrt{13}}{13}$. Từ công thức đã tính ở trên, ta có: \[ AM^2 = 25 - \frac{60\sqrt{13}}{26} \] Để tìm $AM$, ta cần giải phương trình này. Tuy nhiên, không có cách nào đơn giản để $AM$ là $\sqrt{13}$ hoặc $\frac{7\sqrt{13}}{13}$ mà không có thêm thông tin hoặc tính toán chi tiết hơn. Khẳng định này có thể sai. Khẳng định d): Khi số đo góc A nhọn và lớn nhất trong ba đỉnh của tam giác ABC thì độ dài cạnh $AC=7$. Để kiểm tra điều này, ta cần sử dụng định lý cosin trong tam giác $ABC$ để tìm $AC$ khi $\angle A$ là lớn nhất. Tuy nhiên, không có thông tin đủ để xác định $AC$ một cách chính xác chỉ từ điều kiện này. Khẳng định này có thể sai. Tóm lại, chỉ có khẳng định b) là đúng. Các khẳng định khác cần thêm thông tin hoặc tính toán chi tiết hơn để xác định tính đúng sai.