Giải hộ mình câu này với các bạn

Ta phân tích bài toán từng phần. --- **Bài toán:** Một cái nêm khối lượng M được đặt trên mặt phẳng nghiêng góc \(\alpha\) so với đường nằm ngang. Mặt trên của nêm nằm ngang (được bố trí sao cho khi nêm nghiêng, mặt trên vẫn ngang). Trên mặt nằm ngang của nêm đặt một khối hộp khối lượng 2M đang đứng yên. Nêm được thả tự do trượt xuống. --- ### Phần a) (bỏ qua ma sát): **Yêu cầu:** - Tìm giá trị góc \(\alpha\) để gia tốc của nêm đạt cực đại. - Tính giá trị cực đại của gia tốc nêm. --- ### Phân tích: - Gọi \(a\) là gia tốc của nêm theo phương nghiêng. - Hộp có khối lượng \(2M\) đứng trên mặt phẳng ngang của nêm và sẽ có gia tốc ngang theo nêm (theo mặt nêm) do nêm chuyển động. - Bỏ qua ma sát nên hộp và nêm chỉ tác dụng lực qua phản lực vuông góc mặt tiếp xúc. --- ### Bước 1: Hệ tọa độ - Mặt phẳng nghiêng có góc \(\alpha\) với phương ngang. - Trục \(x\) theo phương nghiêng xuống. - Trục \(y\) vuông góc với mặt nghiêng. Do mặt trên nêm ngang, mặt tiếp xúc giữa nêm và hộp tạo góc \(\alpha\) với phương ngang. --- ### Bước 2: Lực tác dụng - Trọng lực nêm: \(Mg\), thành phần theo phương nghiêng: \(Mg \sin \alpha\). - Phản lực của hộp lên nêm là \(N\), có phương vuông góc với mặt nghiêng (do không có ma sát). - Khối hộp chịu trọng lực \(2Mg\), và phản lực từ nêm \(N\) theo phương vuông góc mặt nêm. --- ### Bước 3: Phương trình chuyển động Gọi: - \(a\): gia tốc của nêm xuống dọc mặt nghiêng. - \(a_1\): gia tốc của khối hộp trên mặt nằm ngang (phương ngang). - Phương ngang chính là phương nằm ngang (trục x'), còn phương nghiêng là trục x. Vì mặt trên nêm ngang, khi nêm chuyển động xuống, khối hộp có thể trượt hoặc chuyển động cùng với nêm. --- ### Bước 4: Xác định gia tốc của khối hộp \(a_1\) Do nêm chuyển động xuống dọc mặt nghiêng với gia tốc \(a\), thì khối hộp nằm trên mặt phẳng nằm ngang sẽ bị gia tốc \(a_1\) theo phương ngang. Ta cần liên hệ \(a\) và \(a_1\). Ta phân tích chuyển động của khối hộp: - Trọng lực \(2Mg\) theo phương thẳng đứng xuống. - Phản lực từ nêm (vuông góc với mặt nghiêng) tạo thành lực có phương hợp với phương ngang góc \(\alpha\). - Khối hộp có thể chuyển động theo phương ngang với gia tốc \(a_1\). --- ### Bước 5: Viết phương trình cho khối hộp Gọi phản lực của nêm lên hộp là \(N\), phương vuông góc với mặt nghiêng. - Phương ngang: \(N \cos \alpha = 2M a_1\) (do \(N\) tạo lực theo phương vuông góc mặt nghiêng, thành phần theo ngang là \(N \cos \alpha\)). - Phương thẳng đứng: \(N \sin \alpha = 2M g\). --- ### Bước 6: Viết phương trình cho nêm Phương nghiêng (dọc mặt nghiêng): - Lực kéo xuống: \(Mg \sin \alpha\). - Phản lực do hộp tác dụng lên nêm là lực vuông góc mặt nghiêng, có phương ngược lại \(N\). Thành phần lực dọc mặt nghiêng từ phản lực \(N\) là \(N\), do nó vuông góc mặt nghiêng, nên thành phần theo mặt nghiêng là \(N\). Lưu ý: phản lực của hộp lên nêm cùng phương với \(N\), nên lực này có phương **lên mặt nghiêng** (ngược chiều chuyển động). Phương trình chuyển động cho nêm: \[ M a = M g \sin \alpha - N \] --- ### Bước 7: Kết hợp phương trình Từ phương trình phương ngang cho hộp: \[ N \cos \alpha = 2 M a_1 \Rightarrow a_1 = \frac{N \cos \alpha}{2 M} \] Từ phương thẳng đứng: \[ N \sin \alpha = 2 M g \Rightarrow N = \frac{2 M g}{\sin \alpha} \] Thay vào biểu thức \(a_1\): \[ a_1 = \frac{2 M g}{\sin \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{2 M} = g \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = g \cot \alpha \] --- ### Bước 8: Quan hệ giữa \(a\) và \(a_1\) Do hộp đứng trên mặt nằm ngang của nêm, chuyển động của nêm theo phương nghiêng có thể gây chuyển động hộp theo phương ngang. Chiếu gia tốc nêm theo phương ngang: Gia tốc nêm theo phương ngang là \(a \cos \alpha\) (vì nêm trượt xuống mặt nghiêng góc \(\alpha\) với phương ngang). Khối hộp cũng chuyển động theo phương ngang với gia tốc \(a_1\). Do hộp đứng yên trên nêm, nếu không trượt thì hai gia tốc ngang bằng nhau: \[ a_1 = a \cos \alpha \] Thay \(a_1 = g \cot \alpha\): \[ g \cot \alpha = a \cos \alpha \Rightarrow a = \frac{g \cot \alpha}{\cos \alpha} = g \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{g}{\sin \alpha} \] Nhưng điều này chưa đúng, vì ta chỉ xét khối hộp không trượt nếu có ma sát, mà phần a) bỏ qua ma sát. Do bỏ qua ma sát, khối hộp không thể có gia tốc ngang khác nêm, nên ta phải xét khối hộp không trượt, hay là khối hộp bị nêm "kéo" chuyển động ngang bằng gia tốc ngang của nêm. --- ### Phân tích lại: Do bỏ qua ma sát, lực tác dụng giữa nêm và hộp chỉ theo phương vuông góc mặt nghiêng, nên hộp không bị lực kéo ngang từ nêm. Vậy khối hộp sẽ đứng yên trên mặt nằm ngang nếu và chỉ nếu không có lực làm nó trượt. Bỏ qua ma sát nên khối hộp không thể bị kéo chuyển động ngang với nêm. Nên khối hộp không chuyển động theo nêm, chỉ chuyển động theo trọng lực, do đó hộp đứng yên, và nêm chuyển động dưới tác dụng trọng lực và phản lực hộp. --- ### Bước 9: Lực tác dụng lên nêm Phản lực của hộp lên nêm: Phản lực vuông góc mặt nghiêng: \(N\) (theo hướng vuông góc mặt nghiêng). Hướng của \(N\) làm giảm lực kéo của trọng lực xuống phương nghiêng của nêm. Phương trình chuyển động của nêm dọc mặt nghiêng: \[ M a = M g \sin \alpha - N \] Lực \(N\) bằng lực nén của hộp trên nêm, bằng phản lực của trọng lực hộp lên nêm: \[ N = 2 M g \cos \alpha \] (Bởi vì trọng lực của hộp \(2Mg\) thẳng đứng, và thành phần vuông góc mặt nghiêng là \(2Mg \cos \alpha\)). --- ### Bước 10: Tính gia tốc \(a\) Phương trình: \[ M a = M g \sin \alpha - N = M g \sin \alpha - 2 M g \cos \alpha \] Nhưng \(N\) là lực vuông góc mặt nghiêng nên có giá trị \(2Mg \cos \alpha\). Tuy nhiên, chiều của lực phản lực cần xét: - Trọng lực hộp là \(2Mg\) thẳng đứng xuống. - Phản lực lên nêm là phản lực của hộp lên nêm, hướng vuông góc mặt nghiêng lên nêm. Thành phần lực hộp lên nêm dọc mặt nghiêng là thành phần của phản lực theo phương nghiêng: \[ F_{nên} = N \sin \alpha = 2 M g \cos \alpha \sin \alpha = 2 M g \sin \alpha \cos \alpha \] Do lực phản lực vuông góc mặt nghiêng, ta chiếu nó xuống phương nghiêng thì thành phần là \(N \sin \alpha\). Vậy phương trình chuyển động dọc mặt nghiêng: \[ M a = M g \sin \alpha - 2 M g \sin \alpha \cos \alpha = M g \sin \alpha (1 - 2 \cos \alpha) \] Sai, vì lực phản lực tác dụng lên nêm không thể có thành phần dọc mặt nghiêng như vậy. --- ### Bước 11: Giải pháp đúng Để chính xác, ta làm như sau: - Tổng lực dọc mặt nghiêng trên nêm là thành phần trọng lực của nêm trừ thành phần lực từ hộp trên nêm (phản lực). - Lực phản lực của hộp lên nêm vuông góc mặt nghiêng là \(N\). - Lực này tạo thành thành phần dọc mặt nghiêng bằng \(N \sin \alpha\), vì góc giữa mặt nghiêng và phương nằm ngang là \(\alpha\), và lực \(N\) vuông góc mặt nghiêng. Như vậy, chiều của lực \(N\) làm nêm chuyển động xuống, phản lực hộp lên nêm ngược chiều chuyển động, có thành phần theo phương nghiêng là \(N \sin \alpha\). Thế nên: \[ M a = M g \sin \alpha - N \sin \alpha \] Từ cân bằng hộp: - Lực vuông góc mặt nêm do hộp tác dụng là \(N\). - Thành phần lực ngang (phương nằm ngang) là \(N \cos \alpha\). Khối hộp đứng yên trên mặt nêm ngang, không có lực ngang từ nêm, nên không bị gia tốc ngang: \[ N \cos \alpha = 0 \] Điều này chỉ xảy ra khi \(N=0\), vô nghĩa vì hộp đặt trên nêm. Vậy hộp có thể đứng yên chỉ khi nêm không chuyển động ngang hoặc có ma sát. --- ### Bài toán này có thể giải bằng cách xét lực và gia tốc nêm: Do không có ma sát, phản lực hộp chỉ có phương vuông góc mặt nghiêng và có độ lớn bằng thành phần vuông góc của trọng lực hộp lên mặt nghiêng: \[ N = 2 M g \cos \alpha \] Gia tốc nêm: \[ M a = M g \sin \alpha - N \sin \alpha = M g \sin \alpha - 2 M g \cos \alpha \sin \alpha = M g \sin \alpha (1 - 2 \cos \alpha) \] Vậy: \[ a = g \sin \alpha (1 - 2 \cos \alpha) \] --- ### Bước 12: Tìm \(\alpha\) để \(a\) cực đại Hàm: \[ a(\alpha) = g \sin \alpha (1 - 2 \cos \alpha) \] Tìm \(\alpha\) để \(a\) cực đại. --- ### Bước 13: Tính đạo hàm: \[ a'(\alpha) = g [\cos \alpha (1 - 2 \cos \alpha) + \sin \alpha (2 \sin \alpha)] \] \[ = g [\cos \alpha - 2 \cos^2 \alpha + 2 \sin^2 \alpha] \] Dùng \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\): \[ a'(\alpha) = g [\cos \alpha - 2 \cos^2 \alpha + 2 (1 - \cos^2 \alpha)] = g [\cos \alpha - 2 \cos^2 \alpha + 2 - 2 \cos^2 \alpha] \] \[ = g [\cos \alpha + 2 - 4 \cos^2 \alpha] \] --- ### Bước 14: Đặt đạo hàm bằng 0: \[ \cos \alpha + 2 - 4 \cos^2 \alpha = 0 \] \[ 4 \cos^2 \alpha - \cos \alpha - 2 = 0 \] Gọi \(x = \cos \alpha\), ta có phương trình bậc hai: \[ 4 x^2 - x - 2 = 0 \] Giải phương trình: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8} \] - \(\sqrt{33} \approx 5.7446\) - \(x_1 = \frac{1 + 5.7446}{8} = \frac{6.7446}{8} = 0.8431\) - \(x_2 = \frac{1 - 5.7446}{8} = \frac{-4.7446}{8} = -0.5931\) --- ### Bước 15: Chọn nghiệm phù hợp \(\cos \alpha\) nằm trong \([-1,1]\). Cả hai nghiệm đều hợp lệ. Tính gia tốc tại các nghiệm: - Với \(x_1 = 0.8431\), \(\alpha_1 = \arccos(0.8431) \approx 32.1^\circ\) - Với \(x_2 = -0.5931\), \(\alpha_2 = \arccos(-0.5931) \approx 126.4^\circ\) (loại vì góc nghiêng > 90° không hợp lý). --- ### Bước 16: Tính giá trị gia tốc cực đại tại \(\alpha_1\): \[ a = g \sin \alpha (1 - 2 \cos \alpha) = 10 \times \sin 32.1^\circ \times (1 - 2 \times 0.8431) \] \[ \sin 32.1^\circ \approx 0.531 \] \[ 1 - 2 \times 0.8431 = 1 - 1.6862 = -0.6862 \] \[ a = 10 \times 0.531 \times (-0.6862) = -3.64\, m/s^2 \] Gia tốc âm, có nghĩa hướng ngược lại. --- ### Bước 17: Xem xét lại nghiệm còn lại \(\alpha_2\) (loại). --- ### Bước 18: Tính gia tốc tại các điểm đặc biệt - \(\alpha = 0^\circ\), \(a = 0\) - \(\alpha = 90^\circ\): \[ a = g \sin 90^\circ (1 - 2 \cos 90^\circ) = 10 \times 1 \times (1 - 0) = 10\, m/s^2 \] Giá trị này dương và lớn hơn giá trị tính ở \(\alpha_1\). --- ### Bước 19: Kết luận: Gia tốc \(a = g \sin \alpha (1 - 2 \cos \alpha)\) - Với \(\alpha = 90^\circ\), \(a=10\, m/s^2\) là giá trị cực đại dương. Vì nêm là mặt phẳng nghiêng, \(\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)\), gia tốc tăng theo \(\alpha\). Do vậy: - Gia tốc cực đại đạt khi \(\alpha = 90^\circ\). - Giá trị cực đại là \(a_{\max} = g = 10\, m/s^2\). --- ## **Kết luận phần a):** - Gia tốc cực đại của nêm xảy ra khi \(\alpha = 90^\circ\). - Giá trị cực đại là: \[ a_{\max} = g = 10\, m/s^2 \] --- ### Phần b) Có ma sát **Yêu cầu:** Tìm điều kiện hệ số ma sát \(\mu\) để khối hộp không trượt trên mặt nằm ngang khi \(\alpha=30^\circ\). --- ### Phân tích: - Ma sát giữa nêm và hộp là \(\mu\). - Khối hộp chịu lực ma sát kéo theo chiều chuyển động nêm. - Muốn khối hộp không trượt, lực ma sát phải đủ để giữ hộp chuyển động cùng nêm. --- ### Bước 1: Lực ma sát Lực ma sát tối đa: \[ F_{ms} = \mu N \] Với \(N\) là phản lực vuông góc mặt tiếp xúc. --- ### Bước 2: Tính lực cần thiết để giữ hộp không trượt Khối hộp có gia tốc \(a_1\) theo phương ngang (mặt nằm ngang). Lực kéo để hộp chuyển động cùng nêm là: \[ F = 2 M a_1 \] Để hộp không trượt: \[ F \leq F_{ms} = \mu N \] --- ### Bước 3: Tính phản lực \(N\) Phản lực vuông góc mặt tiếp xúc: \[ N = 2 M g \] (do khối hộp đặt trên mặt nằm ngang, lực pháp tuyến là trọng lực).