Câu $\rm 8$.

Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định giá trị của \( n \) từ hệ thức đã cho. 2. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển. Bước 1: Xác định giá trị của \( n \) Chúng ta có khai triển: \[ (1 + 2x)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \] Các hệ số \( a_k \) được cho bởi công thức: \[ a_k = \binom{n}{k} \cdot 2^k \] Theo đề bài, các hệ số thỏa mãn hệ thức: \[ a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2^2} + \cdots + \frac{a_n}{2^n} = 4096 \] Thay \( a_k \) vào hệ thức trên: \[ \sum_{k=0}^{n} \frac{\binom{n}{k} \cdot 2^k}{2^k} = 4096 \] Đơn giản hóa: \[ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 4096 \] Nhận thấy rằng tổng của các hệ số nhị thức \( \binom{n}{k} \) từ \( k = 0 \) đến \( k = n \) chính là \( 2^n \): \[ 2^n = 4096 \] Giải phương trình: \[ 2^n = 4096 \implies n = 12 \] Bước 2: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Hệ số \( a_k \) trong khai triển \( (1 + 2x)^{12} \) là: \[ a_k = \binom{12}{k} \cdot 2^k \] Để tìm hệ số lớn nhất, chúng ta so sánh \( a_k \) và \( a_{k+1} \): \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\binom{12}{k+1} \cdot 2^{k+1}}{\binom{12}{k} \cdot 2^k} = \frac{12 - k}{k + 1} \cdot 2 \] Hệ số \( a_k \) đạt giá trị lớn nhất khi: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} \geq 1 \] Giải bất phương trình: \[ \frac{12 - k}{k + 1} \cdot 2 \geq 1 \] Đơn giản hóa: \[ 2(12 - k) \geq k + 1 \implies 24 - 2k \geq k + 1 \implies 24 - 1 \geq 3k \implies 23 \geq 3k \implies k \leq \frac{23}{3} \approx 7.67 \] Do \( k \) phải là số nguyên, nên \( k \) lớn nhất là 7. Vậy hệ số lớn nhất nằm ở \( k = 7 \). Tính \( a_7 \): \[ a_7 = \binom{12}{7} \cdot 2^7 = \binom{12}{5} \cdot 2^7 = 792 \cdot 128 = 101376 \] Kết luận Hệ số lớn nhất trong khai triển \( (1 + 2x)^{12} \) là: \[ \boxed{101376} \]