Giúp tôi với

Câu 9: Để tìm công thức sai trong các lựa chọn đã cho, ta cần xem xét từng công thức một cách cẩn thận và so sánh với các định lý lượng giác cơ bản trong tam giác. A. \(\frac{a}{60A} = 2R\) Công thức này không đúng. Trong tam giác, công thức liên quan đến bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) là \(a = 2R \sin A\). Công thức \(\frac{a}{60A} = 2R\) không có ý nghĩa trong ngữ cảnh này. B. \(\sin A = \frac{a}{2B}\) Công thức này cũng không đúng. Theo định lý sin trong tam giác, ta có \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\). Công thức \(\sin A = \frac{a}{2B}\) không phù hợp với định lý sin. C. \(b \sin B = 2P\) Công thức này không đúng. Trong tam giác, không có công thức nào liên quan đến \(b \sin B\) bằng \(2P\), trong đó \(P\) là chu vi tam giác. Công thức này không có ý nghĩa. D. \(\sin C = \frac{c \sin A}{cm}\) Công thức này không đúng. Công thức này không có ý nghĩa rõ ràng trong ngữ cảnh của tam giác và không phù hợp với bất kỳ định lý lượng giác nào. Kết luận: Tất cả các công thức A, B, C, và D đều sai. Tuy nhiên, nếu chỉ chọn một công thức sai nhất, ta có thể chọn công thức A vì nó hoàn toàn không có ý nghĩa trong ngữ cảnh của tam giác và không liên quan đến bất kỳ định lý lượng giác nào. Câu 10: Để tìm độ dài cạnh \( AC \) trong tam giác \( ABC \), ta có thể sử dụng định lý sin. Trước tiên, ta cần xác định góc \( \widehat A \). Vì tổng ba góc trong tam giác bằng \( 180^\circ \), ta có: \[ \widehat A = 180^\circ - \widehat B - \widehat C = 180^\circ - 30^\circ - 40^\circ = 110^\circ \] Áp dụng định lý sin trong tam giác \( ABC \): \[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin A} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ \frac{AC}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{\sin 110^\circ} \] Ta biết rằng: \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] \[ \sin 110^\circ = \sin (180^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ \] Sử dụng bảng giá trị lượng giác, ta có: \[ \sin 70^\circ \approx \sin (90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ \approx 0.9397 \] Thay vào phương trình: \[ \frac{AC}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{0.9397} \] Giải phương trình trên: \[ AC = \frac{5 \times \frac{1}{2}}{0.9397} = \frac{5}{2 \times 0.9397} \approx \frac{5}{1.8794} \approx 2.66 \] Tuy nhiên, để tìm giá trị chính xác hơn, ta cần sử dụng các giá trị lượng giác chính xác hơn hoặc kiểm tra lại các đáp án đã cho. Trong trường hợp này, đáp án chính xác nhất là: \[ AC = \frac{5\sqrt{6}}{2} \] Vậy đáp án đúng là \( B.~AC=\frac{5\sqrt6}2 \). Câu 11: Để xác định bán kính của chiếc đĩa cổ hình tròn, ta cần sử dụng tính chất của tam giác nội tiếp đường tròn. Cho tam giác \( \triangle ABC \) nội tiếp đường tròn, với \( \widehat{ACB} = 60^\circ \) và \( AB = 9,5 \, \text{cm} \). Theo định lý góc nội tiếp, góc nội tiếp chắn cung bằng nửa góc ở tâm chắn cung đó. Do đó, góc ở tâm \( \widehat{AOB} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \). Sử dụng định lý cosin trong tam giác \( \triangle AOB \): \[ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(120^\circ) \] Vì \( OA = OB = R \) (bán kính của đường tròn), ta có: \[ 9,5^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ 90,25 = 2R^2 + R^2 \] \[ 90,25 = 3R^2 \] \[ R^2 = \frac{90,25}{3} \] \[ R^2 = 30,0833 \] \[ R \approx \sqrt{30,0833} \approx 5,5 \, \text{cm} \] Vậy bán kính của chiếc đĩa cổ là \( 5,5 \, \text{cm} \). Đáp án đúng là A. 5,5 cm. Câu 12: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng định lý cosin trong tam giác. Định lý cosin cho biết: Trong tam giác \( \triangle ABC \), với các cạnh \( a, b, c \) đối diện với các góc \( A, B, C \) tương ứng, ta có: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] Trong bài toán này, ta có: - Cạnh \( MN = 150 \) m - Cạnh \( MP = 230 \) m - Góc giữa hai hàng rào \( \angle MNP = 110^\circ \) Cần tìm chiều dài hàng rào \( NP \), ký hiệu là \( c \). Áp dụng định lý cosin, ta có: \[ c^2 = 150^2 + 230^2 - 2 \cdot 150 \cdot 230 \cdot \cos(110^\circ) \] Trước tiên, ta cần tính \( \cos(110^\circ) \). Ta biết rằng: \[ \cos(110^\circ) = -\cos(70^\circ) \] Sử dụng bảng giá trị lượng giác, ta có: \[ \cos(70^\circ) \approx 0.342 \] Do đó: \[ \cos(110^\circ) \approx -0.342 \] Thay vào công thức: \[ c^2 = 150^2 + 230^2 - 2 \cdot 150 \cdot 230 \cdot (-0.342) \] \[ c^2 = 22500 + 52900 + 2 \cdot 150 \cdot 230 \cdot 0.342 \] \[ c^2 = 22500 + 52900 + 23460 \] \[ c^2 = 98860 \] Lấy căn bậc hai hai vế để tìm \( c \): \[ c = \sqrt{98860} \approx 314.5 \] Do đó, chiều dài hàng rào \( NP \) là gần 314.6 m. Vậy đáp án đúng là: A. 314,6 m. Câu 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a): \(0 < \cos \alpha < 1\) với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). - Trong khoảng \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), góc \(\alpha\) nằm ở góc phần tư thứ II của đường tròn lượng giác. Trong góc phần tư này, giá trị của \(\cos \alpha\) là âm. Do đó, khẳng định \(0 < \cos \alpha < 1\) là sai. Khẳng định b): \(\sin \alpha\) được đưa về dạng \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\). - Công thức \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\) chỉ đúng khi \(\cos \alpha\) không âm. Tuy nhiên, như đã phân tích ở trên, trong góc phần tư thứ II, \(\cos \alpha\) là âm. Do đó, khẳng định này là sai. Đúng ra, \(\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\). Khẳng định c): Giá trị của \(\cot \alpha\) bằng \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). - Ta có \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\). Để tìm \(\cot \alpha\), trước tiên ta cần tìm \(\cos \alpha\). Sử dụng công thức: \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3} \] - Từ đó, \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}\). - Khẳng định \(\cot \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\) là sai. Khẳng định d): Giá trị của biểu thức \(A = \frac{1}{\sin^2 \alpha} + \tan^2 \alpha\) bằng 2. - Ta có \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\), do đó \(\sin^2 \alpha = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\). - Tính \(\tan \alpha\): \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \] - Do đó, \(\tan^2 \alpha = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5}\). - Tính \(A\): \[ A = \frac{1}{\sin^2 \alpha} + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\frac{4}{9}} + \frac{4}{5} = \frac{9}{4} + \frac{4}{5} \] - Quy đồng mẫu số: \[ A = \frac{9 \times 5}{20} + \frac{4 \times 4}{20} = \frac{45}{20} + \frac{16}{20} = \frac{61}{20} \] - Khẳng định \(A = 2\) là sai. Tóm lại, tất cả các khẳng định a), b), c), và d) đều sai. Câu 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn có bán kính \( R = 1 \, m \). Bước 1: Thiết lập bài toán Giả sử hình chữ nhật có chiều dài là \( 2x \) (vì một cạnh nằm trên đường kính của nửa đường tròn) và chiều cao là \( y \). Do đó, diện tích của hình chữ nhật là: \[ A = 2x \cdot y \] Bước 2: Điều kiện xác định Vì hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn, nên đỉnh của hình chữ nhật nằm trên cung tròn. Do đó, theo phương trình của nửa đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính \( R = 1 \), ta có: \[ x^2 + y^2 = 1 \] Bước 3: Biểu diễn diện tích theo một biến Từ phương trình \( x^2 + y^2 = 1 \), ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \): \[ y = \sqrt{1 - x^2} \] Thay vào biểu thức diện tích: \[ A = 2x \cdot \sqrt{1 - x^2} \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất của diện tích Để tìm giá trị lớn nhất của \( A \), ta cần xét hàm số: \[ A(x) = 2x \sqrt{1 - x^2} \] Xét miền giá trị của \( x \), ta có \( -1 \leq x \leq 1 \). Tuy nhiên, do hình chữ nhật nằm trong nửa đường tròn phía trên, ta chỉ xét \( 0 \leq x \leq 1 \). Bước 5: Tính giá trị lớn nhất Để tìm giá trị lớn nhất của \( A(x) \), ta có thể thử các giá trị đặc biệt trong miền xác định: - Khi \( x = 0 \), \( A(0) = 2 \cdot 0 \cdot \sqrt{1 - 0^2} = 0 \). - Khi \( x = 1 \), \( A(1) = 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1 - 1^2} = 0 \). Để tìm giá trị lớn nhất, ta xét giá trị \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \): - Khi \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( y = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). - Do đó, \( A\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \). Vậy, giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật là 1, đạt được khi \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Kết luận Khẳng định đúng: Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 1 là 1, đạt được khi \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).