8 Giúp mình với! $---$ Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò,chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao,động quanh vị trí cân bằng (Hình 14). Nghiên,cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (m),từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu,diễn qua thời gian t (s) (với $t\geq0)$ bởi hệ thức $h=|d|$,với $d=3\cos[\frac\pi3(2t-1)],$ trong đó ta quy ước $d0$,khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và,$d

Question

8 Giúp mình với! $---$ Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò,chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao,động quanh vị trí cân bằng (Hình 14). Nghiên,cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (m),từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu,diễn qua thời gian t (s) (với $t\geq0)$ bởi hệ thức $h=|d|$,với $d=3\cos[\frac\pi3(2t-1)],$ trong đó ta quy ước $d>0$,khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và,$d<0$ trong trường hợp ngược lại. Vào thời gian t,nào thì khoảng cách h là 3 m; 0 m?

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các thời điểm $ t $ sao cho khoảng cách $ h $ từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 3 m và 0 m.

Bước 1: Xác định biểu thức cho $ h $
$$ h = |d| $$
với $ d = 3 \cos \left[ \frac{\pi}{3} (2t - 1) \right] $.

Bước 2: Tìm thời điểm $ t $ để $ h = 3 $ m
$$ h = 3 $$
$$ |d| = 3 $$
$$ |3 \cos \left[ \frac{\pi}{3} (2t - 1) \right]| = 3 $$
$$ \cos \left[ \frac{\pi}{3} (2t - 1) \right] = \pm 1 $$

Trường hợp 1: 
$$ \cos \left[ \frac{\pi}{3} (2t - 1) \right] = 1 $$
$$ \frac{\pi}{3} (2t - 1) = 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$
$$ 2t - 1 = 6k $$
$$ 2t = 6k + 1 $$
$$ t = 3k + \frac{1}{2} $$

Trường hợp 2:
$$ \cos \left[ \frac{\pi}{3} (2t - 1) \right] = -1 $$
$$ \frac{\pi}{3} (2t - 1) = (2k+1)\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$
$$ 2t - 1 = 3(2k+1) $$
$$ 2t - 1 = 6k + 3 $$
$$ 2t = 6k + 4 $$
$$ t = 3k + 2 $$

Vậy các thời điểm $ t $ để $ h = 3 $ m là:
$$ t = 3k + \frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad t = 3k + 2 \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

Bước 3: Tìm thời điểm $ t $ để $ h = 0 $ m
$$ h = 0 $$
$$ |d| = 0 $$
$$ |3 \cos \left[ \frac{\pi}{3} (2t - 1) \right]| = 0 $$
$$ \cos \left[ \frac{\pi}{3} (2t - 1) \right] = 0 $$

$$ \frac{\pi}{3} (2t - 1) = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$
$$ 2t - 1 = \frac{3}{2} + 3k $$
$$ 2t = \frac{5}{2} + 3k $$
$$ t = \frac{5}{4} + \frac{3k}{2} $$

Vậy các thời điểm $ t $ để $ h = 0 $ m là:
$$ t = \frac{5}{4} + \frac{3k}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

Tóm lại, các thời điểm $ t $ để khoảng cách $ h $ là 3 m và 0 m lần lượt là:
$$ t = 3k + \frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad t = 3k + 2 \quad (k \in \mathbb{Z}) $$
$$ t = \frac{5}{4} + \frac{3k}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) $$