9 Giúp mình với! Phương trình $\sin3x=\cos x$ có các nghiệm là:

Question

Accepted Answer

Để giải phương trình $\sin 3x = \cos x$, chúng ta sẽ sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và các công thức lượng giác cơ bản.

Bước 1: Biến đổi phương trình $\sin 3x = \cos x$ thành dạng dễ giải hơn.
Ta biết rằng $\cos x = \sin (\frac{\pi}{2} - x)$. Do đó, phương trình trở thành:
$$
\sin 3x = \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right)
$$

Bước 2: Sử dụng tính chất của hàm sin để tìm nghiệm.
Hàm sin có tính chất $\sin A = \sin B$ nếu $A = B + k2\pi$ hoặc $A = \pi - B + k2\pi$ với $k$ là số nguyên.

Áp dụng tính chất này, ta có hai trường hợp:
1. $3x = \frac{\pi}{2} - x + k2\pi$
2. $3x = \pi - \left( \frac{\pi}{2} - x \right) + k2\pi$

Bước 3: Giải từng trường hợp.

Trường hợp 1:
$$
3x = \frac{\pi}{2} - x + k2\pi
$$
$$
3x + x = \frac{\pi}{2} + k2\pi
$$
$$
4x = \frac{\pi}{2} + k2\pi
$$
$$
x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}
$$

Trường hợp 2:
$$
3x = \pi - \left( \frac{\pi}{2} - x \right) + k2\pi
$$
$$
3x = \pi - \frac{\pi}{2} + x + k2\pi
$$
$$
3x = \frac{\pi}{2} + x + k2\pi
$$
$$
3x - x = \frac{\pi}{2} + k2\pi
$$
$$
2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi
$$
$$
x = \frac{\pi}{4} + k\pi
$$

Bước 4: Kết luận các nghiệm của phương trình.
Các nghiệm của phương trình $\sin 3x = \cos x$ là:
$$
x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi
$$
với $k$ là số nguyên.

Đáp số: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$ hoặc $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ với $k$ là số nguyên.