Giúp với mọi người

Câu 2: Để tìm miền nghiệm của bất phương trình \( -x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn bất phương trình: Bắt đầu với bất phương trình đã cho: \[ -x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x) \] Rút gọn vế trái: \[ -x + 2 + 2y - 4 < 2 - 2x \] Rút gọn tiếp: \[ 2y - x - 2 < 2 - 2x \] 2. Chuyển các hạng tử về một vế: Chuyển \( -2x \) từ vế phải sang vế trái: \[ 2y - x - 2 + 2x < 2 \] Rút gọn: \[ 2y + x - 2 < 2 \] 3. Rút gọn bất phương trình: Chuyển \( -2 \) sang vế phải: \[ 2y + x < 4 \] 4. Xác định miền nghiệm: Bất phương trình \( 2y + x < 4 \) biểu diễn một nửa mặt phẳng. Để xác định nửa mặt phẳng nào chứa các điểm đã cho, ta kiểm tra từng điểm: - Điểm \( A(0, 0) \): \[ 2(0) + 0 = 0 < 4 \] Điểm \( A \) thuộc miền nghiệm. - Điểm \( B(1, 1) \): \[ 2(1) + 1 = 3 < 4 \] Điểm \( B \) thuộc miền nghiệm. - Điểm \( C(4, 2) \): \[ 2(2) + 4 = 8 \not< 4 \] Điểm \( C \) không thuộc miền nghiệm. - Điểm \( D(1, -1) \): \[ 2(-1) + 1 = -2 < 4 \] Điểm \( D \) thuộc miền nghiệm. Kết luận: Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa các điểm \( A(0, 0) \), \( B(1, 1) \), và \( D(1, -1) \). Câu 3: Để xác định miền nghiệm của bất phương trình \(4(x-1) + 5(y-3) > 2x - 9\), ta thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn bất phương trình: \[ 4(x-1) + 5(y-3) > 2x - 9 \] \[ 4x - 4 + 5y - 15 > 2x - 9 \] \[ 4x + 5y - 19 > 2x - 9 \] \[ 4x + 5y - 19 - 2x + 9 > 0 \] \[ 2x + 5y - 10 > 0 \] 2. Kiểm tra từng điểm: - Điểm \(A(0;0)\): \[ 2(0) + 5(0) - 10 = -10 \quad (\text{sai}) \] - Điểm \(B(1;1)\): \[ 2(1) + 5(1) - 10 = 2 + 5 - 10 = -3 \quad (\text{sai}) \] - Điểm \(C(-1;1)\): \[ 2(-1) + 5(1) - 10 = -2 + 5 - 10 = -7 \quad (\text{sai}) \] - Điểm \(D(2;5)\): \[ 2(2) + 5(5) - 10 = 4 + 25 - 10 = 19 \quad (\text{đúng}) \] Vậy, miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 5y - 10 > 0\) là nửa mặt phẳng chứa điểm \(D(2;5)\). Đáp án: \(D.~(2;5)\) Câu 4: Để kiểm tra từng cặp số, ta thay các giá trị của \(x\) và \(y\) vào bất phương trình \(2x + y < 13\). - Với cặp \(A. (-2; 1)\): \[ 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3 < 13 \] Vậy cặp \(A\) là nghiệm của bất phương trình. - Với cặp \(B. (3; -7)\): \[ 2(3) + (-7) = 6 - 7 = -1 < 13 \] Vậy cặp \(B\) là nghiệm của bất phương trình. - Với cặp \(C. (0; 1)\): \[ 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1 < 13 \] Vậy cặp \(C\) là nghiệm của bất phương trình. - Với cặp \(D. (0; 0)\): \[ 2(0) + 0 = 0 + 0 = 0 < 13 \] Vậy cặp \(D\) là nghiệm của bất phương trình. Tất cả các cặp đều là nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 13\). Do đó, không có cặp nào trong các cặp đã cho không là nghiệm của bất phương trình này. Đáp án: Không có cặp nào trong các cặp đã cho không là nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 13\). Câu 5: Để xác định bất phương trình nào trong các lựa chọn A, B, C, D là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chúng ta cần kiểm tra từng phương án một. A. \(2x - 5y + 3z \leq 0\) Phương trình này có ba biến \(x\), \(y\), và \(z\). Do đó, đây không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. B. \(3x^2 + 2x - 4 > 0\) Phương trình này chỉ có một biến \(x\) và chứa hạng tử \(x^2\). Do đó, đây không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. C. \(2x^3 + 5y > 3\) Phương trình này có hai biến \(x\) và \(y\), nhưng chứa hạng tử \(x^3\). Do đó, đây không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. D. \(2x + 3y < 5\) Phương trình này có hai biến \(x\) và \(y\), và tất cả các hạng tử đều có bậc là 1. Do đó, đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{D} \] Câu 6: Để kiểm tra điểm nào thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y - 3 > 0\), ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào bất phương trình và kiểm tra xem bất phương trình có đúng hay không. 1. Kiểm tra điểm \(Q(-1; -3)\): Thay \(x = -1\) và \(y = -3\) vào bất phương trình: \[ 2(-1) + (-3) - 3 = -2 - 3 - 3 = -8 \] Vì \(-8 < 0\), nên điểm \(Q(-1; -3)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. 2. Kiểm tra điểm \(M(1; \frac{3}{2})\): Thay \(x = 1\) và \(y = \frac{3}{2}\) vào bất phương trình: \[ 2(1) + \frac{3}{2} - 3 = 2 + \frac{3}{2} - 3 = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} - \frac{6}{2} = \frac{1}{2} \] Vì \(\frac{1}{2} > 0\), nên điểm \(M(1; \frac{3}{2})\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. 3. Kiểm tra điểm \(N(1; 1)\): Thay \(x = 1\) và \(y = 1\) vào bất phương trình: \[ 2(1) + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0 \] Vì \(0 \not> 0\), nên điểm \(N(1; 1)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. 4. Kiểm tra điểm \(P(-1; \frac{3}{2})\): Thay \(x = -1\) và \(y = \frac{3}{2}\) vào bất phương trình: \[ 2(-1) + \frac{3}{2} - 3 = -2 + \frac{3}{2} - 3 = -\frac{4}{2} + \frac{3}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{7}{2} \] Vì \(-\frac{7}{2} < 0\), nên điểm \(P(-1; \frac{3}{2})\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y - 3 > 0\) là \(M(1; \frac{3}{2})\). Đáp án: \(B. M(1; \frac{3}{2})\). Câu 7: Để xác định miền nghiệm của bất phương trình \( -3x + y + 2 \leq 0 \), ta cần kiểm tra từng điểm xem điểm nào không thỏa mãn bất phương trình này. 1. Điểm \( A(1; 2) \): Thay \( x = 1 \) và \( y = 2 \) vào bất phương trình: \[ -3(1) + 2 + 2 = -3 + 2 + 2 = 1 \] Vì \( 1 \leq 0 \) là sai, nên điểm \( A(1; 2) \) không thuộc miền nghiệm. 2. Điểm \( B(2; 1) \): Thay \( x = 2 \) và \( y = 1 \) vào bất phương trình: \[ -3(2) + 1 + 2 = -6 + 1 + 2 = -3 \] Vì \( -3 \leq 0 \) là đúng, nên điểm \( B(2; 1) \) thuộc miền nghiệm. 3. Điểm \( C\left(1; \frac{1}{2}\right) \): Thay \( x = 1 \) và \( y = \frac{1}{2} \) vào bất phương trình: \[ -3(1) + \frac{1}{2} + 2 = -3 + \frac{1}{2} + 2 = -0.5 \] Vì \( -0.5 \leq 0 \) là đúng, nên điểm \( C\left(1; \frac{1}{2}\right) \) thuộc miền nghiệm. 4. Điểm \( D(3; 1) \): Thay \( x = 3 \) và \( y = 1 \) vào bất phương trình: \[ -3(3) + 1 + 2 = -9 + 1 + 2 = -6 \] Vì \( -6 \leq 0 \) là đúng, nên điểm \( D(3; 1) \) thuộc miền nghiệm. Kết luận: Điểm \( A(1; 2) \) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy đáp án đúng là \( A \). Câu 8: Để tìm miền nghiệm của bất phương trình \(3(x-1) + 4(y-2) < 5x - 3\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn bất phương trình Bắt đầu bằng cách khai triển và rút gọn bất phương trình: \[ 3(x-1) + 4(y-2) < 5x - 3 \] Khai triển: \[ 3x - 3 + 4y - 8 < 5x - 3 \] Rút gọn: \[ 3x + 4y - 11 < 5x - 3 \] Chuyển vế: \[ 3x + 4y - 11 - 5x + 3 < 0 \] Rút gọn tiếp: \[ -2x + 4y - 8 < 0 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ -x + 2y - 4 < 0 \] Bước 2: Viết lại dưới dạng phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng tương ứng là: \[ -x + 2y - 4 = 0 \] Hay: \[ 2y = x + 4 \] \[ y = \frac{1}{2}x + 2 \] Đây là phương trình của đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Bước 3: Xác định miền nghiệm Để xác định miền nghiệm, ta cần kiểm tra xem điểm nào trong các điểm đã cho thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Kiểm tra điểm \(A(0,0)\): Thay \(x = 0\), \(y = 0\) vào bất phương trình: \[ -0 + 2 \times 0 - 4 < 0 \] \[ -4 < 0 \] Điều này đúng, do đó điểm \(A(0,0)\) thuộc miền nghiệm. Kiểm tra điểm \(B(-4,2)\): Thay \(x = -4\), \(y = 2\) vào bất phương trình: \[ -(-4) + 2 \times 2 - 4 < 0 \] \[ 4 + 4 - 4 < 0 \] \[ 4 < 0 \] Điều này sai, do đó điểm \(B(-4,2)\) không thuộc miền nghiệm. Kiểm tra điểm \(C(-2,2)\): Thay \(x = -2\), \(y = 2\) vào bất phương trình: \[ -(-2) + 2 \times 2 - 4 < 0 \] \[ 2 + 4 - 4 < 0 \] \[ 2 < 0 \] Điều này sai, do đó điểm \(C(-2,2)\) không thuộc miền nghiệm. Kiểm tra điểm \(D(-5,3)\): Thay \(x = -5\), \(y = 3\) vào bất phương trình: \[ -(-5) + 2 \times 3 - 4 < 0 \] \[ 5 + 6 - 4 < 0 \] \[ 7 < 0 \] Điều này sai, do đó điểm \(D(-5,3)\) không thuộc miền nghiệm. Kết luận: Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm \(A(0,0)\). Câu 9: Trước tiên, ta sẽ giải bất phương trình $x + 3 + 2(2y + 5) < 2(1 - z)$ để tìm miền nghiệm. Bước 1: Mở rộng và đơn giản hóa bất phương trình: \[ x + 3 + 2(2y + 5) < 2(1 - z) \] \[ x + 3 + 4y + 10 < 2 - 2z \] \[ x + 4y + 13 < 2 - 2z \] Bước 2: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x + 4y + 13 - 2 + 2z < 0 \] \[ x + 4y + 2z + 11 < 0 \] Bây giờ, ta kiểm tra từng điểm A, B, C, D để xem điểm nào không nằm trong miền nghiệm của bất phương trình này. Bước 3: Kiểm tra điểm A(-1, -2): \[ (-1) + 4(-2) + 2z + 11 < 0 \] \[ -1 - 8 + 2z + 11 < 0 \] \[ 2z + 2 < 0 \] \[ 2z < -2 \] \[ z < -1 \] Bước 4: Kiểm tra điểm B(-$\frac{1}{11}$, -$\frac{2}{11}$): \[ -\frac{1}{11} + 4\left(-\frac{2}{11}\right) + 2z + 11 < 0 \] \[ -\frac{1}{11} - \frac{8}{11} + 2z + 11 < 0 \] \[ -\frac{9}{11} + 2z + 11 < 0 \] \[ 2z + \frac{122}{11} < 0 \] \[ 2z < -\frac{122}{11} \] \[ z < -\frac{61}{11} \] Bước 5: Kiểm tra điểm C(0, -3): \[ 0 + 4(-3) + 2z + 11 < 0 \] \[ 0 - 12 + 2z + 11 < 0 \] \[ 2z - 1 < 0 \] \[ 2z < 1 \] \[ z < \frac{1}{2} \] Bước 6: Kiểm tra điểm D(-4, 0): \[ -4 + 4(0) + 2z + 11 < 0 \] \[ -4 + 2z + 11 < 0 \] \[ 2z + 7 < 0 \] \[ 2z < -7 \] \[ z < -\frac{7}{2} \] Từ các kết quả trên, ta thấy rằng điểm D(-4, 0) không nằm trong miền nghiệm của bất phương trình vì \( z < -\frac{7}{2} \) không thỏa mãn. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình không chứa điểm D(-4, 0). Đáp án: D. D(-4; 0). Câu 10: Để xác định miền nghiệm của bất phương trình \((1+\sqrt{3})x - (1-\sqrt{3})y \geq 2\), ta cần kiểm tra từng điểm xem có thỏa mãn bất phương trình hay không. Bước 1: Kiểm tra điểm \(A(1; -1)\) Thay \(x = 1\) và \(y = -1\) vào bất phương trình: \[ (1+\sqrt{3}) \cdot 1 - (1-\sqrt{3}) \cdot (-1) = (1+\sqrt{3}) + (1-\sqrt{3}) = 2 \] Vì \(2 \geq 2\) là đúng, nên điểm \(A(1; -1)\) thuộc miền nghiệm. Bước 2: Kiểm tra điểm \(B(-1; -1)\) Thay \(x = -1\) và \(y = -1\) vào bất phương trình: \[ (1+\sqrt{3}) \cdot (-1) - (1-\sqrt{3}) \cdot (-1) = -(1+\sqrt{3}) + (1-\sqrt{3}) = -2\sqrt{3} \] Vì \(-2\sqrt{3} \geq 2\) là sai, nên điểm \(B(-1; -1)\) không thuộc miền nghiệm. Bước 3: Kiểm tra điểm \(C(-1; 1)\) Thay \(x = -1\) và \(y = 1\) vào bất phương trình: \[ (1+\sqrt{3}) \cdot (-1) - (1-\sqrt{3}) \cdot 1 = -(1+\sqrt{3}) - (1-\sqrt{3}) = -2 - 2\sqrt{3} \] Vì \(-2 - 2\sqrt{3} \geq 2\) là sai, nên điểm \(C(-1; 1)\) không thuộc miền nghiệm. Bước 4: Kiểm tra điểm \(D(-\sqrt{3}; \sqrt{3})\) Thay \(x = -\sqrt{3}\) và \(y = \sqrt{3}\) vào bất phương trình: \[ (1+\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) - (1-\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = -(1+\sqrt{3})\sqrt{3} - (1-\sqrt{3})\sqrt{3} \] \[ = -\sqrt{3} - 3 - \sqrt{3} + 3 = -2\sqrt{3} \] Vì \(-2\sqrt{3} \geq 2\) là sai, nên điểm \(D(-\sqrt{3}; \sqrt{3})\) không thuộc miền nghiệm. Kết luận: Điểm \(A(1; -1)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Câu 11: Để tìm miền nghiệm của bất phương trình \(x + 3 + 2(2y + 5) < 2(1 - x)\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn bất phương trình Bắt đầu bằng cách khai triển và rút gọn bất phương trình: \[ x + 3 + 2(2y + 5) < 2(1 - x) \] Khai triển các biểu thức: \[ x + 3 + 4y + 10 < 2 - 2x \] Rút gọn: \[ x + 4y + 13 < 2 - 2x \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x + 4y + 13 + 2x < 2 \] \[ 3x + 4y + 13 < 2 \] Chuyển 13 sang vế phải: \[ 3x + 4y < 2 - 13 \] \[ 3x + 4y < -11 \] Bước 2: Xác định miền nghiệm Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng \(3x + 4y = -11\). Để xác định miền nghiệm, ta cần kiểm tra xem điểm nào trong các điểm đã cho thuộc miền nghiệm. Bước 3: Kiểm tra các điểm - Điểm \(A. (-3, -4)\): \[ 3(-3) + 4(-4) = -9 - 16 = -25 \] \(-25 < -11\), do đó điểm \(A\) thuộc miền nghiệm. - Điểm \(B. (-2, -5)\): \[ 3(-2) + 4(-5) = -6 - 20 = -26 \] \(-26 < -11\), do đó điểm \(B\) thuộc miền nghiệm. - Điểm \(C. (-1, -6)\): \[ 3(-1) + 4(-6) = -3 - 24 = -27 \] \(-27 < -11\), do đó điểm \(C\) thuộc miền nghiệm. - Điểm \(D. (0, 0)\): \[ 3(0) + 4(0) = 0 \] \(0 \not< -11\), do đó điểm \(D\) không thuộc miền nghiệm. Kết luận: Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa các điểm \(A. (-3, -4)\), \(B. (-2, -5)\), và \(C. (-1, -6)\). Điểm \(D. (0, 0)\) không thuộc miền nghiệm. Câu 12: Ta có bất phương trình: \[ x - 2 + 2(y - 1) > 2x + 4 \] Bước 1: Rút gọn bất phương trình. \[ x - 2 + 2y - 2 > 2x + 4 \] \[ x + 2y - 4 > 2x + 4 \] Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa \( x \) và \( y \) về một vế. \[ x + 2y - 4 - 2x - 4 > 0 \] \[ -x + 2y - 8 > 0 \] Bước 3: Viết lại bất phương trình dưới dạng đơn giản hơn. \[ -x + 2y > 8 \] \[ 2y > x + 8 \] \[ y > \frac{x + 8}{2} \] Bây giờ ta kiểm tra từng điểm để xem điểm nào thỏa mãn bất phương trình \( y > \frac{x + 8}{2} \). - Kiểm tra điểm \( A(1;1) \): \[ 1 > \frac{1 + 8}{2} \] \[ 1 > \frac{9}{2} \] \[ 1 > 4.5 \] (sai) - Kiểm tra điểm \( B(1;5) \): \[ 5 > \frac{1 + 8}{2} \] \[ 5 > \frac{9}{2} \] \[ 5 > 4.5 \] (đúng) - Kiểm tra điểm \( C(4;3) \): \[ 3 > \frac{4 + 8}{2} \] \[ 3 > \frac{12}{2} \] \[ 3 > 6 \] (sai) - Kiểm tra điểm \( D(0;4) \): \[ 4 > \frac{0 + 8}{2} \] \[ 4 > \frac{8}{2} \] \[ 4 > 4 \] (sai) Vậy miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm \( B(1;5) \). Đáp án: \( B.~B(1;5) \).