Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Cm MN

Question

Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Cm MN<BC

Accepted Answer

Để chứng minh $ MN < BC $, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản. 1. Tính chất của đường tròn đường kính BC: - Đường tròn tâm $ O $ có đường kính $ BC $ nghĩa là $ \angle BOC = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 2. Góc nội tiếp và góc ở tâm: - Vì $ M $ và $ N $ lần lượt nằm trên các cạnh $ AB $ và $ AC $ và cũng nằm trên đường tròn đường kính $ BC $, nên các góc $ \angle BMC $ và $ \angle BNC $ đều là góc nội tiếp chắn cung $ BC $. - Do đó, $ \angle BMC = \angle BNC = 90^\circ $. 3. Tính chất của tam giác vuông: - Xét tam giác $ BMC $ và $ BNC $, cả hai đều là tam giác vuông tại $ M $ và $ N $ tương ứng. - Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất. Do đó, $ BC $ là cạnh lớn nhất trong các tam giác $ BMC $ và $ BNC $. 4. So sánh độ dài $ MN $ và $ BC $: - Vì $ M $ và $ N $ nằm trên các cạnh $ AB $ và $ AC $, nên $ MN $ là một đoạn thẳng nối hai điểm trên hai cạnh của tam giác $ ABC $. - Theo bất đẳng thức tam giác, trong tam giác $ BMC $ và $ BNC $, ta có: - $ BM + MC > BC $ - $ BN + NC > BC $ - Do đó, $ MN $ là một đoạn thẳng nối hai điểm trên hai cạnh của tam giác và không thể lớn hơn cạnh huyền $ BC $. 5. Kết luận: - Từ các lập luận trên, ta có thể kết luận rằng $ MN < BC $. Vậy, đã chứng minh được $ MN < BC $.