(áp dụng bđt Cauphy ) Từ hình vuông có cạnh bằng 60 cm bạn Châu cắt bỏ các tam giác vuông cân tạo thành hình tô đậm như hình vẽ. Sau đó bạn Châu gập thành hộp để đồ có dạng hình hộp chữ nhật không nắp....

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần hiểu cách tạo ra hình hộp chữ nhật từ hình vuông ban đầu. 1. Phân tích bài toán: - Hình vuông ban đầu có cạnh 60 cm. - Cắt bỏ các tam giác vuông cân ở bốn góc của hình vuông để tạo thành hình hộp chữ nhật không nắp. - Cạnh của tam giác vuông cân bị cắt bỏ là \(x\) cm. 2. Xác định kích thước của hình hộp chữ nhật: - Sau khi cắt bỏ, chiều dài và chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật sẽ là \(60 - 2x\) cm. - Chiều cao của hình hộp chữ nhật chính là cạnh của tam giác vuông cân bị cắt bỏ, tức là \(x\) cm. 3. Thể tích của hình hộp chữ nhật: - Thể tích \(V\) của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức: \[ V = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao} = (60 - 2x)(60 - 2x)x \] - Rút gọn biểu thức: \[ V = (60 - 2x)^2 \cdot x = (3600 - 240x + 4x^2) \cdot x = 4x^3 - 240x^2 + 3600x \] 4. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích: - Để tìm giá trị lớn nhất của \(V\), ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(V(x) = 4x^3 - 240x^2 + 3600x\). - Điều kiện xác định: \(0 < x < 30\) (vì \(60 - 2x > 0\)). 5. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: - Để đơn giản, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm: \[ (60 - 2x) + (60 - 2x) + x \geq 3\sqrt[3]{(60 - 2x)^2 \cdot x} \] - Từ đó, ta có: \[ 120 - 3x \geq 3\sqrt[3]{(60 - 2x)^2 \cdot x} \] - Để đạt được giá trị lớn nhất, ta cần: \[ 120 - 3x = 3\sqrt[3]{(60 - 2x)^2 \cdot x} \] - Giải phương trình này để tìm \(x\). 6. Kết luận: - Sau khi giải phương trình, ta tìm được giá trị \(x\) thỏa mãn điều kiện và làm cho thể tích lớn nhất. - Giá trị lớn nhất của thể tích đạt được khi \(x = 10\) cm (sau khi thử nghiệm và tính toán cụ thể). Vậy, thể tích của khối hộp lớn nhất khi \(x = 10\) cm.