giải giúp mình với ạ như vở học sinh ạ

Bài 1: Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số tính chất của góc nội tiếp và góc tạo bởi dây cung và tiếp tuyến trong đường tròn. 1. Tính chất góc nội tiếp: Góc nội tiếp chắn cung nào thì bằng nửa số đo của cung đó. Do đó, góc nội tiếp $\widehat{BAD}$ chắn cung $\overset\frown{BD}$ có số đo bằng $130^\circ$. Vậy số đo của cung $\overset\frown{BD}$ là $2 \times 130^\circ = 260^\circ$. 2. Tính số đo cung lớn $\overset\frown{CD}$: Vì tổng số đo của một đường tròn là $360^\circ$, nên số đo của cung nhỏ $\overset\frown{CD}$ là $360^\circ - 260^\circ = 100^\circ$. 3. Tính chất góc nội tiếp với cung lớn: Điểm E thuộc cung lớn $\overset\frown{CD}$, do đó góc nội tiếp $\widehat{BED}$ chắn cung nhỏ $\overset\frown{CD}$. Theo tính chất góc nội tiếp, số đo của góc $\widehat{BED}$ bằng nửa số đo của cung nhỏ $\overset\frown{CD}$. 4. Tính số đo của góc $\widehat{BED}$: Số đo của cung nhỏ $\overset\frown{CD}$ là $100^\circ$, nên số đo của góc $\widehat{BED}$ là $\frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$. Vậy, số đo của góc $\widehat{BED}$ là $50^\circ$. Bài 2: Để chứng minh rằng \(IA \cdot IB = IC \cdot ID\), ta sử dụng định lý về tích các đoạn thẳng cắt nhau trong đường tròn. Bước 1: Xét tam giác và góc nội tiếp Xét hai tam giác \(\triangle AIC\) và \(\triangle BID\). Ta có: - \(\angle AIC\) và \(\angle BID\) là hai góc đối đỉnh, do đó \(\angle AIC = \angle BID\). Bước 2: Sử dụng định lý về góc nội tiếp Trong đường tròn, góc nội tiếp chắn cùng một cung thì bằng nhau. Do đó, ta có: - \(\angle IAC = \angle IDC\) (cùng chắn cung \(IC\)) - \(\angle ICA = \angle IDB\) (cùng chắn cung \(ID\)) Bước 3: Chứng minh hai tam giác đồng dạng Từ các góc bằng nhau đã chỉ ra ở trên, ta có: - \(\angle AIC = \angle BID\) - \(\angle IAC = \angle IDC\) - \(\angle ICA = \angle IDB\) Do đó, hai tam giác \(\triangle AIC\) và \(\triangle BID\) đồng dạng theo trường hợp góc-góc-góc (AAA). Bước 4: Sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng: \[ \frac{IA}{IC} = \frac{ID}{IB} \] Bước 5: Suy ra tích các đoạn thẳng Nhân chéo hai vế của đẳng thức trên, ta được: \[ IA \cdot IB = IC \cdot ID \] Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(IA \cdot IB = IC \cdot ID\). Bài 3: Để chứng minh \(\widehat{BAH} = \widehat{OAC}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố liên quan: - Tam giác \(ABC\) là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn \((O)\) với đường kính \(AM\). - Đường cao \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\). 2. Sử dụng tính chất của đường kính: - Vì \(AM\) là đường kính của đường tròn \((O)\), nên góc \(\widehat{ABM}\) là góc vuông (theo định lý góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 3. Xét tam giác vuông \(ABM\): - Trong tam giác vuông \(ABM\), ta có \(\widehat{ABM} = 90^\circ\). - Do đó, \(\widehat{BAH} = \widehat{BAM}\) vì \(AH\) là đường cao từ \(A\) xuống \(BC\). 4. Xét tam giác \(AOC\): - Vì \(AM\) là đường kính, nên \(O\) là trung điểm của \(AM\). - Do đó, \(\widehat{OAC} = \widehat{BAM}\) vì \(O\) nằm trên đường tròn và \(AM\) là đường kính. 5. Kết luận: - Từ các bước trên, ta có \(\widehat{BAH} = \widehat{BAM} = \widehat{OAC}\). Vậy, \(\widehat{BAH} = \widehat{OAC}\) đã được chứng minh. Bài 4: Để chứng minh $SM = SC$ và $SN = SA$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xét tam giác và các đường song song: - Do $MN \parallel BC$, theo định lý về đường thẳng song song cắt hai cạnh của tam giác, ta có: \[ \frac{SM}{SC} = \frac{AM}{AC} \] 2. Xét cung và tính chất đối xứng: - Vì M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB, nên $AM = MB$. - Do đó, $AM = \frac{1}{2}AB$. 3. Sử dụng tính chất của đường trung bình: - Vì $MN \parallel BC$ và M là trung điểm của cung nhỏ AB, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. - Do đó, $SM = SC$. 4. Chứng minh $SN = SA$: - Tương tự, do $MN \parallel BC$ và $M$ là trung điểm của cung nhỏ $AB$, ta có: \[ \frac{SN}{SA} = \frac{MN}{BC} \] - Vì $MN$ là đường trung bình, nên $MN = \frac{1}{2}BC$. - Do đó, $SN = SA$. Kết luận: Từ các bước trên, ta đã chứng minh được $SM = SC$ và $SN = SA$. Bài 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh \(MK^2 = AK \cdot PK\): 1. Xét tam giác \(MAB\): Vì \(MA\) và \(MB\) là các tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \(A\) và \(B\), nên \(MA = MB\). 2. Xét đường thẳng \(AC\): Do \(AC\) song song với \(MB\), theo định lý về đường thẳng song song cắt hai tiếp tuyến, ta có \(MC\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\). 3. Xét tam giác \(MCK\): Vì \(MC\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(C\) và \(P\), nên \(MC\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MCK\). 4. Áp dụng định lý về đường kính và tiếp tuyến: Trong tam giác \(MCK\), vì \(MC\) là đường kính, nên góc \(\angle MKC = 90^\circ\). 5. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(MKC\): Ta có: \[ MK^2 = MC \cdot CK \] 6. Xét tam giác \(AKP\): Vì \(MC\) là đường kính, nên \(MC\) cũng là đường trung trực của \(AP\), do đó \(AK = PK\). 7. Kết hợp các kết quả trên: Từ \(MK^2 = MC \cdot CK\) và \(AK = PK\), ta có: \[ MK^2 = AK \cdot PK \] b) Chứng minh \(MK = KB\): 1. Xét tam giác \(MKB\): Ta đã biết \(MA = MB\) và \(MK\) là đường trung trực của \(AB\). 2. Áp dụng định lý về đường trung trực: Vì \(MK\) là đường trung trực của \(AB\), nên \(MK = KB\). 3. Kết luận: Từ các bước trên, ta có: \[ MK = KB \] Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.