giup minh voi

Câu 38: Để giải bài toán này, ta cần xác định số vectơ khác 0 có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 7 điểm phân biệt cho trước. 1. Chọn điểm đầu và điểm cuối: - Có 7 điểm phân biệt, ta có thể chọn điểm đầu là một trong 7 điểm. - Sau khi đã chọn điểm đầu, ta cần chọn điểm cuối khác điểm đầu. Do đó, có 6 lựa chọn cho điểm cuối. 2. Tính số vectơ khác 0: - Với mỗi lựa chọn điểm đầu, có 6 lựa chọn cho điểm cuối. Do đó, số vectơ khác 0 có thể tạo thành là \(7 \times 6 = 42\). Vậy, số vectơ khác 0 có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 7 điểm phân biệt cho trước là 42. Đáp án đúng là A. 42. Câu 39: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{BI}\) trong tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(a\). 1. Xác định tọa độ các điểm: - Đặt \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\). 2. Tìm tọa độ trọng tâm \(G\): Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ: \[ G\left(\frac{0 + a + \frac{a}{2}}{3}, \frac{0 + 0 + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{3}\right) = \left(\frac{3a}{6}, \frac{a\sqrt{3}}{6}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}\right) \] 3. Tìm tọa độ điểm \(I\): Điểm \(I\) là trung điểm của \(AG\), nên tọa độ của \(I\) là: \[ I\left(\frac{0 + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{a\sqrt{3}}{6}}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{12}\right) \] 4. Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow{BI}\): Tọa độ của \(B\) là \((a, 0)\), nên vectơ \(\overrightarrow{BI}\) có tọa độ: \[ \overrightarrow{BI} = \left(\frac{a}{4} - a, \frac{a\sqrt{3}}{12} - 0\right) = \left(-\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{12}\right) \] Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{BI}\) là: \[ \left|\overrightarrow{BI}\right| = \sqrt{\left(-\frac{3a}{4}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{12}\right)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{3a^2}{144}} \] Tính toán tiếp: \[ \frac{3a^2}{144} = \frac{a^2}{48} \] \[ \left|\overrightarrow{BI}\right| = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{a^2}{48}} = \sqrt{\frac{27a^2}{48} + \frac{a^2}{48}} = \sqrt{\frac{28a^2}{48}} = \sqrt{\frac{7a^2}{12}} \] \[ = \frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{12}} = \frac{a\sqrt{7}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{21}}{6} \] Vậy độ dài của vectơ \(\overrightarrow{BI}\) là \(\frac{a\sqrt{21}}{6}\). Đáp án đúng là \(A.~a\frac{\sqrt{21}}{6}\). Câu 40: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích các yếu tố hình học của hình bình hành và các điểm đã cho. 1. Tính chất của hình bình hành: - Trong hình bình hành ABCD, ta có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. 2. Điều kiện của bài toán: - Trên đoạn DC, AB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $DM = BN$. 3. Xét các khẳng định: A. $\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{QB}$. - Xét tam giác $ABD$ và $DCB$, ta có $AM$ và $CN$ là các đường thẳng cắt nhau tại $P$ và $Q$. - Do $DM = BN$, theo tính chất của hình bình hành và các đường thẳng cắt nhau, ta có thể suy ra rằng $DP$ và $QB$ là các vectơ đối nhau, nhưng không nhất thiết bằng nhau. Do đó, khẳng định này không đúng. B. $\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NP}$. - Xét các tam giác $AMP$ và $CNQ$, do $DM = BN$ và $AM$ cắt $CN$ tại $P$ và $Q$, ta có thể suy ra rằng $MQ$ và $NP$ là các vectơ đối nhau, nhưng không nhất thiết bằng nhau. Do đó, khẳng định này không đúng. C. $|\overrightarrow{PQ}| = |\overrightarrow{MN}|$. - Xét các tam giác $AMP$ và $CNQ$, do $DM = BN$ và $AM$ cắt $CN$ tại $P$ và $Q$, ta có thể suy ra rằng $PQ$ và $MN$ là các đoạn thẳng tương ứng trong hai tam giác đồng dạng. Do đó, khẳng định này có thể đúng. D. $|\overrightarrow{MN}| = |\overrightarrow{AC}|$. - Trong hình bình hành, $AC$ là đường chéo, không có lý do gì để $MN$ bằng $AC$ trừ khi $M$ và $N$ trùng với $C$ và $A$, điều này không được đảm bảo bởi điều kiện $DM = BN$. Do đó, khẳng định này không đúng. Kết luận: Khẳng định đúng là C. $|\overrightarrow{PQ}| = |\overrightarrow{MN}|$. Câu 41: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét các tính chất của hình thoi và các vectơ liên quan. 1. Tính chất của hình thoi: - Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. - Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 2. Xét từng đẳng thức: A. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}\) - Trong hình thoi, các cạnh bằng nhau về độ dài nhưng không nhất thiết bằng nhau về hướng. Do đó, \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\) có cùng độ dài nhưng không cùng hướng (trừ khi hình thoi là hình vuông). Vì vậy, đẳng thức này không đúng. B. \(|\overrightarrow{BD}| = a\) - Đường chéo \(\overrightarrow{BD}\) không nhất thiết phải bằng cạnh \(a\) của hình thoi. Đường chéo \(\overrightarrow{BD}\) có độ dài phụ thuộc vào góc \(\widehat{BAD}\). Do đó, đẳng thức này không đúng. C. \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}\) - Trong hình thoi, hai đường chéo \(\overrightarrow{BD}\) và \(\overrightarrow{AC}\) vuông góc và không bằng nhau về độ dài (trừ khi hình thoi là hình vuông). Vì vậy, đẳng thức này không đúng. D. \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DA}\) - Trong hình thoi, các cạnh đối diện song song và bằng nhau về độ dài. Do đó, \(\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{DA}\) có cùng độ dài và hướng ngược nhau. Tuy nhiên, vì vectơ có hướng, nên \(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}\), không phải \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DA}\). Vì vậy, đẳng thức này không đúng. Kết luận: Không có đẳng thức nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng với hình thoi ABCD có cạnh \(a\) và \(\widehat{BAD} = 60^\circ\). Câu 42: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng khẳng định dựa trên tính chất của vectơ. Cho $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là các vectơ khác $\overrightarrow0$ với $\overrightarrow a$ là vectơ đối của $\overrightarrow b$. Điều này có nghĩa là: \[ \overrightarrow a = -\overrightarrow b \] Bây giờ, ta sẽ xem xét từng khẳng định: A. Hai vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ cùng phương. - Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có thể biểu diễn dưới dạng $\overrightarrow a = k\overrightarrow b$ với $k$ là một số thực. Ở đây, $\overrightarrow a = -1 \cdot \overrightarrow b$, do đó $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương. Khẳng định này đúng. B. Hai vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ ngược hướng. - Hai vectơ ngược hướng nếu chúng cùng phương và có hệ số $k < 0$. Ở đây, $\overrightarrow a = -1 \cdot \overrightarrow b$, nên $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng. Khẳng định này đúng. C. Hai vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ cùng độ dài. - Độ dài của vectơ $\overrightarrow a$ là $|\overrightarrow a|$ và độ dài của vectơ $\overrightarrow b$ là $|\overrightarrow b|$. Vì $\overrightarrow a = -\overrightarrow b$, nên $|\overrightarrow a| = |\overrightarrow b|$. Khẳng định này đúng. D. Hai vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ chung điểm đầu. - Vectơ chỉ có thể chung điểm đầu nếu chúng được định nghĩa từ cùng một điểm trong không gian. Tuy nhiên, điều này không được đảm bảo chỉ từ thông tin $\overrightarrow a = -\overrightarrow b$. Khẳng định này sai. Vậy, khẳng định sai là D. Hai vectơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ chung điểm đầu. Câu 43: Để tìm các vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow{DN}\), ta cần hiểu rằng vectơ đối của một vectơ \(\overrightarrow{u}\) là vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng, tức là \(-\overrightarrow{u}\). Trong tam giác \(ABC\), \(M\), \(N\), \(D\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AC\), \(BC\). Ta có: - \(\overrightarrow{DN}\) là vectơ từ \(D\) đến \(N\). Để tìm các vectơ đối của \(\overrightarrow{DN}\), ta cần tìm các vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng với \(\overrightarrow{DN}\). 1. Xét \(\overrightarrow{AM}\): - \(M\) là trung điểm của \(AB\), do đó \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). - \(\overrightarrow{DN}\) không có liên hệ trực tiếp với \(\overrightarrow{AM}\) về hướng và độ dài, vì \(D\) và \(N\) không nằm trên đường thẳng \(AB\). 2. Xét \(\overrightarrow{MB}\): - \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{M} = \overrightarrow{B} - \left(\frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). - Tương tự như \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{MB}\) không có liên hệ trực tiếp với \(\overrightarrow{DN}\). 3. Xét \(\overrightarrow{ND}\): - \(\overrightarrow{ND} = -\overrightarrow{DN}\), do đó \(\overrightarrow{ND}\) chính là vectơ đối của \(\overrightarrow{DN}\). 4. Xét \(\overrightarrow{BM}\): - \(\overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{MB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). - Tương tự như các vectơ khác, \(\overrightarrow{BM}\) không có liên hệ trực tiếp với \(\overrightarrow{DN}\). Từ các phân tích trên, chỉ có \(\overrightarrow{ND}\) là vectơ đối của \(\overrightarrow{DN}\). Do đó, đáp án đúng là: \(A.~\overrightarrow{AM},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{ND}.\) Câu 44: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định A: \(\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{NB}\) - Vì M là trung điểm của DC, nên \(\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DC}\). - Vì N là trung điểm của AB, nên \(\overrightarrow{NB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\). - Trong hình bình hành ABCD, ta có \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}\). - Do đó, \(\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{NB}\). Vậy khẳng định A là đúng. Khẳng định B: \(\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{QB}\) - Xét tam giác ABD, M là trung điểm của DC và P là giao điểm của AM và DB. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, nếu M là trung điểm của DC và P nằm trên DB, thì P không thể là trung điểm của DB trừ khi M và P trùng nhau, điều này không xảy ra trong hình bình hành. - Tương tự, xét tam giác BDC, N là trung điểm của AB và Q là giao điểm của CN và DB. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, nếu N là trung điểm của AB và Q nằm trên DB, thì Q không thể là trung điểm của DB trừ khi N và Q trùng nhau, điều này cũng không xảy ra trong hình bình hành. - Do đó, \(\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{QB}\) không thể đồng thời đúng. Vậy khẳng định B là sai. Kết luận: Khẳng định A đúng, khẳng định B sai. Do đó, đáp án đúng nhất là A. Câu 45: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích các thông tin đã cho và sử dụng các tính chất của hình thang và vectơ. 1. Phân tích đề bài: - Hình thang \(ABCD\) có hai đáy là \(AB\) và \(CD\) với \(AB = 2CD\). - Từ \(C\) vẽ \(\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{DA}\). 2. Xét khẳng định A: \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{IC}\): - Theo đề bài, \(\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{DA}\), điều này có nghĩa là vectơ \(\overrightarrow{IC}\) có cùng độ dài và cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow{DA}\). - Do đó, \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{IC}\) là đúng. 3. Xét khẳng định B: \(\overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CB}\): - Ta có \(\overrightarrow{DI} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CI}\). - Biết rằng \(\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{DA}\), ta có: \[ \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} \] - Trong hình thang, \(\overrightarrow{DC}\) và \(\overrightarrow{DA}\) không nhất thiết phải bằng \(\overrightarrow{CB}\) vì \(\overrightarrow{CB}\) là vectơ nối từ \(C\) đến \(B\) và không có thông tin nào cho thấy \(\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}\). - Do đó, \(\overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CB}\) là sai. 4. Kết luận: - Khẳng định A đúng, khẳng định B sai. Vậy, đáp án đúng nhất là D. A đúng, B sai.